Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 5

3º. Калі функцыі  і  інтэгравальныя на адрэзку , то для кожных лікаў α і β  функцыя  таксама інтэгравальная на , прычым .

□ Доказ вынікае з роўнасці для інтэгральных сумаў

                                                                                         ■

Заўвага. Можна даказаць: Калі функцыі  і   інтэгравальныя на адрэзку, то і функцыя    інтэгравальная на гэтым адрэзку.

4º. Калі функцыя  інтэгравальная на , то яна інтэгравальная на .

□ Няхай – адвольны падзел адрэзка . Разгледзім такі падзел адрэзка , каб на адрэзку  падзел  меў тыя ж пункты падзелу, што і  і пункты

 і  з’яўляліся пунктамі падзелу , прычым . Адзначым, што , паколькі ўсе складнікі неадмоўныя. Такім чынам, маем

                                              (1)

Паколькі  інтэгравальная на , то  пры  і з (1) маем  (). Згодна з крытэрам інтэгравальнасці  інтэгравальная на . ■

5º. (адытыўнасць інтэграла) Калі функцыя  інтэгравальная на , то

.

□ Няхай  і  з’яўляюцца адпаведна падзеламі адрэзкаў  і , а тады  ёсць падзел адрэзка . Калі  ёсць выбарка з падзелу , а – выбарка з падзелу , то  ёсць выбарка з адрэзку . З роўнасці , дзе  і  – інтэгральныя сумы функцыі  адпаведна на адрэзках  і , а – інтэгральная сума функцыі  на адрэзку , вынікае патрэбнае сцверджанне. ■

Вынік. Калі функцыя  інтэгравальная на , то

.

§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.

1º. Калі функцыя  інтэгравальная на  і , то .

□ Паколькі пры кожным падзеле  адрэзка  і кожнай выбарцы  мае месца , то пасля пераходу да ліміту пры  атрымаем патрэбнае сцверджанне. ■

Вынік (манатоннасць інтэграла). Калі функцыі  і  інтэгравальныя на  і  , то .

□ Для функцыі  праўдзяцца ўмовы з 1º. Таму

,

адкуль атрымліваецца патрэбная няроўнасць. ■

Заўвага. Калі функцыя  інтэгравальная на ,  і існуе пункт  , а функцыя  непарыўная ў пункце , то .

2º. (інтэгравальнасць модуля) Калі функцыя  інтэгравальная на , то функцыя  таксама інтэгравальная на , прычым .

□ Разгледзім функцыю  – непарыўную на ўсёй лікавай прамой. Таму функцыя  інтэгравальная на  згодна з тэарэмаю пра інтэгравальнасць складанай функцыі. З няроўнасці

на падставе ўласцівасці манатоннасці інтэграла і з інтэгравальнасці функцый маем

.  ■

Заўвага.  Калі функцыя  інтэгравальная на адрэзку з канцамі  і  (г.зн. або , або ), то праўдзіцца няроўнасць  .

3º. Калі функцыя    інтэгравальная і абмежаваная на , г.зн. , то .

□ З інтэгравальнасці модуля і ўласцівассці манатоннасці інтэграла вынікае

. ■

§4.9. Інтэгральныя тэарэмы пра пасярэднія значэнні.

Тэарэма 1 (Абагульненая тэарэма пра пасярэдняе значэнне для інтэгравальнай функцыі). Калі функцыі  і  ёсць інтэгравальныя на адрэзку , а функцыя  не змяняе знаку на , то існуе лік ,  такі, што

 .                                         (1)

□ Няхай . Паколькі  інтэгравальная на , то яна абмежаваная на , а г. зн. . Пры гэтым маем . Адсюль, паколькі , маем

Паколькі  ёсць інтэгравальная на  , то згодна з уласцівасцю манатоннасці інтэграла маем

.                                 (2)

Калі пры гэтым , то  таксама роўны нулю і роўнасць (1) праўдзіцца пры кожным .   

Калі ж  , то , і няроўнасць (2) можна падзяліць на гэты

інтэграл. Атрымаем . Абазначым . З гэтай роўнасці і атрымліваецца (1).

Калі ж , то для функцыі  мае месца (1), г. зн.

.

Дамнажаючы абедзве часткі гэтай роўнасці на –1, атрымаем (1).  ■

Вынік. (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне для інтэгравальнай функцыі).Калі функцыя  ёсць інтэгравальная на адрэзку , то існуе лік ,  такі, што .

□ Калі ў тэарэме 1 узяць , то атрымаем  ■

Тэарэма 2 (Абагульненая тэарэма пра пасярэдняе значэнне для непарыўнай функцыі). Калі функцыя  ёсць непарыўная, а  – інтэгравальная на адрэзку , і функцыя  не змяняе знаку на , то існуе лік  такі, што

.                                         (3)