Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 4

Відавочна, што пры дастаткова дробным падзеле адрэзка  “прыступкавая фігура” мала чым адрозніваецца ад крывалінейнай трапецыі, а таму , калі функцыя  ёсць інтэгравальная на , то  азначае плошчу крывалінейнай трапецыі:

.

Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння . 

► Падзелім адрэзак  на n роўных (дзеля зручнасці) частак. Маем , а таму , калі . Выбіраючы , возьмем правыя канцы адрэзкаў  , г.зн. . Вылічым інтэгральную суму . Адкуль

 . (Ці з’яўляецца значэнне гэтага ліміта значэннем адпаведнага інтэграла?)◄

Практыкаванне. Пакажыце, што пры іншай выбарцы  , калі ўзяць у якасці  левыя канцы адрэзкаў , або іх сярэдзіны, то ліміт інтэгральных сумаў будзе той жа самы.  

Тэарэма 1 (неабходная ўмова інтэгравальнасці функцыі).  Калі функцыя  ёсць інтэгравальная на адрэзку , то яна абмежаваная на гэтым адрэзку.

□ Паколькі  ёсць інтэгравальная на  то існуе лік I , які адпавядае ўмове (1) , г.зн. пры  маем няроўнасць

,                                                    (2)

якая праўдзіцца пры кожным падзеле  і пры кожнай выбарцы .

Зафіксуем падзел  і дапусцім процілеглае, што функцыя  неабмежаваная на . Тады функцыя неабмежаваная прынамсі на адным з адрэзкаў  падзелу . Не парушаючы агульнасці, будзем лічыць, што  неабмежаваная на адрэзку . Зафіксуем пункты  і абазначым . Тады  і адпаведна няроўнасці (2), маем няроўнасць

, якая праўдзіцца . Паколькі , то няроўнасць

праўдзівая . Гэта значыць, што функцыя  абмежаваная на адрэзку , што супярэчыць дапушчэнню неабмежаванасці  на . ■

   Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі. (Як даказаць? Пабудаваць прыклад!)

Напрыклад, функцыя Дырыхле

на адрэзку  абмежаваная, але неінтэгравальная, бо пры  рацыянальных , а пры  ірацыянальных .

Няхай  абмежаваная на , і  – некаторы падзел адрэзка . Няхай 

.(Ці існуюць?)

Сумы называюцца адпаведна ніжняй і верхняй

сумамі Дарбу для дадзенага падзелу .

Паколькі , то , г.зн. .

Мае месца

Крытэр інтэгравальнасці. Для тагокаб функцыя вызначаная і абмежаваная на адрэзку  была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове

 г.зн. . 

Калі абазначыць  так званае ваганне функцыі  на адрэзку , то розніцу

называюць інтэгральным ваганнем функцыі  на адрэзку .

Такім чынам, умова крытэра інтэгравальнасці ёсць

.

§4.6. Класы інтэгравальных функцый.

Функцыя  называецца раўнамерна непарыўнаю на мностве ,калі

.         (1)

Згодна з тэарэмай Кантара, калі функцыя непарыўная на адрэзку, то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.

□ Няхай функцыя  ёсць непарыўная на адрэзку . Паводле тэарэмы Кантара яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку, г.зн. мае месца (1).

Няхай  – такі падзел адрэзка , што яго дробнасць . Адпаведна другой тэарэме Ваерштраса

.

Паколькі , а , то  , а таму  . Маем

.

Згодна з крытэрам інтэгравальнасці функцыя  ёсць інтэгравальная на . ■

Можна даказаць праўдзівасць наступных тэарэм:

Тэарэма 2 (Інтэгравальнасць кавалкава-непарыўнай функцыі). Калі функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку, ёсць непарыўная ва ўсіх пунктах гэтага адрэзку акрамя іх канечнай колькасці (г.зн ёсць кавалкава-непарыўная), то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 3 (Інтэгравальнасць манатоннай функцыі). Калі  функцыя вызначана, абмежаваная і манатонная на адрэзку, то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 4 (Інтэгравальнасць кампазіцыі). Калі функцыя  інтэгравальная на адрэзку  і , а функцыя  непарыўная на , то складаная функцыя  ёсць інтэгравальная на . 

§4.7. Уласцівасці вызначанага інтэграла.

1º. – натуральнае пашырэнне паняцця інтэграла на адрэзак нулявой даўжыні.

2º. – тут .