Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 8

►

Маем раўнанне цыклоіды

◄

2.3) Калі крывая зададзена ў палярных каардынатах , прычым – непарыўная, то, ўлічваючы , маем параметрычнае заданне крывой . Паколькі

, то . З формулы (2) маем

3º. Аб’ём цела авароту.

Разгледзім цела , якое атрымліваецца аваротам крывалінейнай трапецыі вакол восі , дзе функцыя непарыўная на .

Няхай – некаторы падзел адрэзка з дробнасцю падзела . На кожным адрэзку пабудуем прамавугольнік

Кожны прамавугольнік пры авароце вакол восі утворыць цыліндр, аб’ём якога . Тады аб’ём цела, атрыманага аваротам трапецыі вакол восі , набліжана роўны . Гэтую суму можна разглядаць як інтэгральную суму для функцыі з падзелам і выбаркай . Паколькі ёсць непарыўная на , то ліміт інтэгральнай сумы існуе і .

Заўвага. Калі праекцыя цела на вось ёсць адрэзак і фігура, якая атрымліваецца пры перасячэнні цела плоскасцю , мае плошчу , то аб’ём цела вылічаецца паводле формулы .

Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. зн. цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.

► Паколькі раўнанне акружыны , то

. Маем

Апошні інтэграл роўны плошчы чвэрці круга з радыюсам . Таму .◄

4º. Работа зменнай сілы.

Няхай матэрыяльны пункт перамяшчаецца пад уздзеяннем сілы , якая накіраваная ўздоўж восі і мае зменную велічыню , непарыўную на . Патрабуецца вызначыць работу , якая ствараецца сілай пры перамяшчэнні матэрыяльнага пункта ўздоўж восі з пункта у пункт .

Возьмем некаторы падзел адрэзка з дробнасцю падзелу і выбаркаю . Калі адрэзак малы, то змяненне сілы ўздоўж яго нязначнае, а таму работа на адрэзку набліжана роўная . Работа на адрэзку набліжана роўная . Паколькі непарыўная на , то пры маем .

Прыклад 6. Вылічыць работу , неабходную для запуску цела масаю з паверхні зямлі вертыкальна ўверх на вышыню .

► Няхай – сіла прыцяжэння цела зямлёю, – маса зямлі, а – яе радыюс.

Адпаведна закону сусветнага

прыцяжэння .

Абазначым , маем . Калі , то сіла роўная вазе цела , г. зн. . Такім чынам, , а таму работа будзе роўная

. ◄

§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (НІ-1).

Няхай функцыя ёсць вызначаная і інтэгравальная на адрэзку .

def. Ліміт называюць неўласцівым інтэгралам ад функцыі на бясконцым прамежку , або неўласцівым інтэгралам першага роду (НІ-1) і абазначаюць

. (1)

Калі існуе канечны ліміт (1), то НІ-1 называецца збежным, а функцыя – інтэгравальнаю ў неўласцівым сэнсе на прамежку . Калі ж ліміт (1) не існуе, то НІ-1 называецца разбежным, а калі ён пры гэтым ёсць бясконца вялікі, то пішуць .