Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 6

□ Для функцыый f і g мае месца формула (1). Паколькі f непарыўная на , то . На падставе другой тэарэмы Ваерштраса . Паколькі , то згодна з тэарэмаю Бальцана-Кашы аб прамежкавым значэнні непарыўнай функцыі . Падстаўляючы ў (1) замест  значэнне , атрымаем (3).  ■

Вынік. (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне для непарыўнай функцыі).Калі функцыя  ёсць непарыўная на адрэзку , то існуе лік  такі, што

.

□ Калі ў тэарэме 2 узяць , то атрымаем

 ■

§4.10. Інтэграл са зменнаю верхняю мяжою.

Калі функцыя  ёсць інтэгравальная на , то  існуе інтэграл

,                                                         (1)

які называюць інтэгралам са зменнаю верхняю мяжою. Разгледзім яго ўласцівасці.

Тэарэма (Непарыўнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою). Калі функцыя  ёсць інтэгравальная на , то функцыя  ёсць непарыўная на  .

□ Няхай  і . Тады

.

Адкуль . Гэта азначае, што , г. зн.  ёсць непарыўная на .  ■

Тэарэма Барроў (Дыферэнцавальнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою). Калі функцыя  ёсць непарыўная на , то функцыя  ёсць дыферэнцавальная  на , прычым  .  

□ Як і ў папярэдняй тэарэме , , . Далей маем

 

                                                                                            ■

Вынік. Калі функцыя  ёсць непарыўная на , то на гэтым адрэзку  мае першаісную, якою з’яўляецца . 

□ Сапраўды, .■

§4.11. Метады вылічэння вызначанага інтэграла.

1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.

Тэарэма 1 (асноўная тэарэма інтэгральнага злічэння). Калі функцыя  ёсць непарыўная на адрэзку  і калі  – яе першаіснаяна гэтым адрэзку, то праўдзіцца формула , якую называюць формулаю Ньютана-Ляйбніца.

□ Адпаведна выніку з тэарэмы Барроў адной з першаісных для функцыі  ёсць . З формулы, якая падае агульны выгляд першаісных, вынікае . Беручы , атрымаем , адкуль . Такім чынам,  . Гэтая роўнасць праўдзіцца , а таму пры  маем  .   ■

Заўвага 1. Формулу Ньютана-Ляйбніца запісваюць таксама ў выглядзе  .

Прыклад 1. . Ці правільна? Не, функцыя  неабмежаваная ў пункце , а таму неінтэгравальная. 

Заўвага 2. Для функцыі  дакажыце праўдзівасць формулы , калі  непарыўная на ,  і  – дыферэнцавальныя на  .

Пакажам на прыкладах, як вызначаны інтэграл можна скарыстаць пры вылічэнні некаторых лімітаў.

Прыклад 2. Вылічыць .

►Абазначым . Выраз  можна разглядаць як інтэгральную суму для функцыі  на адрэзку  з падзелам  і выбаркаю . Пры гэтым , а таму

, калі . Паколькі – непарыўная на , то   ◄

Прыклад 3. Вылічыць .

►Выраз  – інтэгральная сума для функцыі  на адрэзку , а таму .   ◄

2º. Замена зменнай .

Тэарэма 2. Няхай функцыя  ёсць непарыўная на прамежку , а функцыя –непарыўна дыферэнцавальная на адрэзку , прычым  і , то

 ,                                          (1)

або .

□ Калі – першаісная для функцыі , г. зн. , то, згодна з формулаю Ньютана-Ляйбніца,

 .                                                     (2)

Паколькі , то функцыя  ёсць першаісная для функцыі . Карыстаючыся Формулаю Ньютана-Ляйбніца і ўлічваючы ўмову , атрымаем

 .                       (3)

З роўнасцяў (2) і (3) вынікае (1).  ■

Заўвага1. Калі формулаю (1) кіруюцца справа налева, то пішуць

Заўвага2. Формула (1) праўдзівая і ў выпадку, калі  ёсць толькі інтэгравальная, але – не толькі непарыўная , але не змяняе знаку на , г. зн. – манатонная.

Прыклад 3. Вылічыць .

►1)  

.

2)  .

(Чаму? Бо , калі .)

3)  .

(Чаму? Тут .)

4)  

. ◄

3º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.

1) Няхай функцыя  ёсць непарыўная на адрэзку  і , г. зн. – няцотная. Тады . Такім чынам,                           . 2) Калі ж – цотная, г. зн. , то . Таму                  .     

3) Калі  ёсць непарыўная на  і перыядычная з перыядам Т  то для кожнага значэння  праўдзіцца роўнасць .