► Першаісная функцыі ёсць – абмежаваная, а функцыя – манатонная і бясконца малая на прамежку . Паводле прыкметы Дырыхле інтэграл – збежны.
Даследуем інтэграл на абсалютную збежнасць. З няроўнасці нічога не вынікае. Але і пры гэтым інтэграл паводле прыкметы Дырыхле ёсць збежны.
Калі б інтэграл быў збежны, то з няроўнасці мелі б, што – збежны, але ж ён разбежны. Такім чынам, – разбежны, а інтэграл – умоўна збежны. ◄
►Запішам падынтэгральную функцыю у выглядзе . Паколькі першаісная – абмежаваная, а функцыя манатонна імкнецца да нуля, то на падставе прыкметы Дырыхле інтэграл Фрэнэля – збежны.
Зазначым, што інтэграл – разбежны. ◄
def. Калі функцыя ёсць неабмежаваная ў пункце , і інтэгравальная на кожным адрэзку ( упрыватнасці ёсць абмежаваная на адрэзку ), то пункт называюць асаблівым пунктам функцыі .
def. Ліміт
(1)
называюць неўласцівым інтэгралам ад неабмежаванай функцыі на адрэзку (або неўласцівым інтэгралам другога роду, НІ-2) і абазначаюць
. (2)
Калі існуе канечны ліміт (1), то Ні-2 (2) называюць збежным. Калі ж ліміт (1) не існуе, то кажуць, што інтэграл (2) ёсць разбежны.
Заўвага 1. Калі , то інтэгралы і збягаюцца або разбягаюцца адначасова.
Заўвага 2. Формулу (2) бывае больш зручна запісваць у выглядзе
. (3)
Аналагічна азначаецца неўласцівы інтэграл , калі ёсць асаблівы пункт функцыі
.
Калі ж пункт ёсць асаблівы пункт функцыі , і інтэгралы і – збежныя, то
=+.
Далей для пэўнасці мы будзем вывучаць НІ-2, якія азначаюцца формуламі (2), або (3).
Паміж НІ-1 і НІ-2 існуе пэўная сувязь.
Сапраўды, няхай ёсць інтэгравальная на і – яе асаблівы пункт. У інтэграле з (3) зробім замену
і атрымаем . Такім чынам, прыходзім да роўнасці
.
Гэта азначае, што для НІ-2 праўдзяцца ўласцівасці, аналагічныя адпаведным уласцівасцям для НІ-1, а на збежнасць НІ–2 можна даследаваць як НІ–1, які атрымліваецца з яго пасля замены .
► Калі ў гэтым інтэграле зрабіць вышэй згаданую замену
, то мы прыходзім да інтэграла , які ёсць збежны толькі пры або . Такім чынам, разгляданы намі інтэграл ёсць збежны пры і разбежны пры . У прыватнасці, ёсць збежны толькі пры . ◄
Аналагічна, як і для НІ-1 можна даказаць наступныя тэарэмы.
Вынік Калі , то збежны толькі пры .
► Паколькі , то , а таму . Такім чынам, інтэграл разбежны, паколькі . ◄
def. НІ-2 называецца абсалютна збежным, калі збягаецца інтэграл . З абсалютнай збежнасці інтэграла вынікае яго збежнасць.
def. Калі НІ-2 ёсць збежны, а інтэграл – разбежны то НІ-2 называецца ўмоўна збежным.
► Паколькі , то пабудуем для падынтэгральнай функцыі эквівалентныя у пунктах і :
1). – інтэграл збежны;
2). – інтэграл разбежны.
Такім чынам, інтэграл ёсць разбежны. ◄
► Паколькі , то ў пункце інтэграл збежны, а паколькі , то і ў пункце інтэграл збежны. Такім чынам, інтэграл збежны. ◄
► Паколькі , то першы інтэграл існуе як вызначаны, а другі ёсць збежны паводле прыкметы Дырыхле. Такім чынам, інтэграл збежны.◄
► Заўсёды разбежны. ◄
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.