Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 9

З улікам (2) атрымаем .

Такім чынам, мы атрымалі

Крытэр Кашы (збежнасці НІ-1). Для таго каб НІ-1  быў збежным, неабходна і дастаткова, каб  .

§4.14. Абсалютная збежнасць (НІ-1).

Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай  і  ёсць збежны, то  таксама збежны. 

□ Паколькі  ёсць збежны, то для яго мае месца крытэр Кашы

.

Калі , то . Калі ж , то . Такім чынам, для функцыі  выконваюцца ўмовы крытэра Кашы, а таму  – збежны.   ■

Вынік. (дастатковая ўмова разбежнасці) Калі   і  ёсць разбежны, то  таксама разбежны.

□ Сапраўды, калі дапусціць адваротнае, г. зн. інтэграл  – збежны, то на падставе тэарэмы 1  павінен быць збежным ?!? ■

Заўвага 1. Калі няроўнасць  выконваецца толькі  , то тэарэма 1  таксама праўдзівая. 

Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя  а  і няхай . Тады:

1)  калі  ёсць збежны і , то  – таксама збежны;

2) калі  ёсць разбежны і , то  – разбежны. 

□ 1). Паколькі  – ліміт функцыі , то . Паколькі  – абмежаваная, то . Гэта значыць, што . Паколькі , то . З тэарэмы 1 і заўвагі 1 вынікае праўдзівасць сцверджання 1).

2). Калі , то , а гэта азначае, што

(гэта ёсць адмаўленне для )

.

З апошняй няроўнасці атрымліваем . Такім чынам, . Паколькі  – разбежны, то  таксама разбежны (), бо інакш  – збежны. На падставе выніка з тэарэмы 1 атрымліваем праўдзівасць сцверджання 2).  ■

Заўвага 2. Калі ,г.зн.  і  – функцыі аднаго парадку, то абодва інтэгралы або збежныя, або разбежныя адначасова.

Вынік 1. Калі  і  , то  і  збежныя або разбежныя адначасова.

Вынік 2. Калі  , то  збежны пры  і разбежны пры .

Прыклады. а)  збежны, бо .

б)  разбежны, бо .

в)  збежны, бо  нарастае хутчэй за любую ступень, таму . Такім чынам,

Практыкаванне. Дакажыце, што  збежны пры .

г)  збежны, бо  – лянівая функцыя, таму . Такім чынам, .

Практыкаванне. Дакажыце, што  збежны пры .

def. Неўласцівы інтэграл  называецца абсалютна збежным, калі ін-тэграл  ёсць збежны.

Заўвага 3. З абсалютнай збежнасці НІ-1 вынікае яго збежнасць, паколькі , г. зн. выконваецца крытэр Кашы.

Заўвага 4. Калі  ёсць абсалютна збежны, а функцыя  – абмежаваная на , то  – абсалютна збежны.

Сапраўды, . Тады , а паколькі  – збежны, то на падставе прыкметы параўнання .

Прыклад.  ёсць абсалютна збежны, паколькі і інтэграл  абсалютна збежны.

Пры даследаванні неўласцівых інтэгралаў на абсалютную збежнасць выкарыстоўваюць тэарэмы 1 і 2 і вынікі з гэтых тэарэм.

§4.15. Умоўная збежнасць НІ-1.

def. Калі інтэграл  ёсць збежны, а  – разбежны, то інтэграл  называецца ўмоўна збежным.

Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную  на . Няхай функцыя  ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на  і . Тады інтэграл  – збежны.   

□ Пераканаемся, што для функцыі  выконваецца крытэр інтэгра-вальнасці Кашы. Правядзем інтэграванне часткамі

Паколькі  абмежаваная, то . Такім чынам, маем

Паколькі , то . Таму

 

Згодна з крытэрам Кашы інтэграл  – збежны.   ■

Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя  ёсць непарыўная на  і  – збежны, а функцыя  абмежаваная і яе вытворная  – непарыўная і не мяняе знаку на , то  – збежны. 

□ Доказ вынікае з прыкметы Дырыхле. Паколькі вытворная функцыі  не мяняе знаку, то яна манатонная на , а тады з яе абмежаванасці вынікае існаванне ліміта . З роўнасці

вынікае: дастаткова даказаць збежнасць .

Паколькі  і функцыя  – манатонная, то, каб скарыстацца прыкметаю Дырыхле, дастаткова даказаць, што першаісная для  ёсць абмежаваная.

Сапраўды, паколькі інтэграл  – збежны, то існуе ліміт , а інтэграл  – першаісная для непарыўнай функцыі  ёсць функцыя непарыўная на любым адрэзку . Паколькі ліміт гэтай функцыі існуе на , то яна – абмежаваная на .   ■

Прыклад 1.  Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .