Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 2

3)  у інтэгралах ад функцый  вылічэнне інтэграла зводзіцца да раўнання ў дачыненні да зыходнага інтэграла.

Прыклад 7. Вылічыць .  

►

Прышлі да раўнання ◄

Прыклад8. (гл. Прыклад 3)

►

                                                                                                                          ◄

§4.3. Інтэграванне рацыянальных функцый.

Няхай  – рацыянальная функцыя, дзе  мнагасклады супеняў  і . Калі  (г. зн. рацыянальная функцыя ёсць няправільная), то згодна з тэарэмаю пра выяўленне мнагаскладу . Такім чынам, маем , г. зн. рацынальную функцыю можна падаць як суму мнагаскладу і правільнай рацыянальнай функцыі. Мнагасклад інтэгруецца як сума ступеневых функцый. Што да правільнай рацыянальнай функцыі, то згодна з тэарэмаю пра раскладанне правільнай рацыянальнай функцыі на суму простых дробаў, нам дастаткова навучыцца інтэграваць простыя дробы:

1) ;   2) .

1а) (). .

2а) (). .

2а) ().

. .

.  

2б) .

.

Зоймемся вылічэннем апошняга інтэграла.

                     (1)

    (2)

Падставім (2) у (1)

Адкуль атрымліваем

                                (3)

– рэкурэнтную формулу для вылічэння інтэграла

Прыклад 1. Вылічыць .

► 1) (Паводле формулы (3))

.

2) (Паводле метада) ◄

Прыклад 2. Вылічыць .

► метадам нявызначаных каэфіцыентаў раскладзем падынтэгральную функцыю на суму простых дробаў

.

Спосабам дамнажэння вылічаем канстанты :

,

.

Пры  маем .    Такім чынам,  =

=. ◄

Заўвага. Калі назоўнік  правільнай рацыянальнай функцыі  мае кратныя корні, то пры вылічэнні інтэграла карыстаюцца метадам Астраградскага, паводле якога інтэграл шукаецца ў выглядзе

                                              (4)

дзе  – мнагасклад, які мае тыя ж корні, што і мнагасклад , але кратрасці 1, а . Пры гэтым функцыі  – правільныя рацыянальныя функцыі з нявызначанымі ў лічніку каэфіцыентамі.

Каэфіцыенты мнагаскладаў  вылічаюцца метадам адпаведных каэфіцыентаў з роўнасці, якая атрымліваецца пасля дыферэнцавання (4).

Прыклад 3. Вылічыць .

► Згодна з метадам Астраградскага запішам роўнасць

, пасля дыферэнцавання якой маем

.

З апошняй роўнасці метадам адпаведных каэфіцыентаў атрымліваем сістэму

адкуль  Такім чынам, .

Канчаткова маем  .    ◄

§4.4. Метад рацыяналізацыі.

def  Мнагаскладам ступені  ад дзвюх зменных  і  называецца выраз

Рацыянальнай функцыяй дзвюх зменных называецца выраз  дзе  – мнагасклады.

Зазначым пры гэтым, што складаная функцыя , дзе  – рацыянальныя функцыі, ёсць таксама рацыянальная функцыя.

1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.

Будзем разглядаць інтэгралы тыпу

, г. зн. .

Зробім замену зменнай

Маем

Прыклад 1. Вылічыць .

► Спачатку зробім наступнае пераўтварэнне падынтэгральнай функцыі

.

Пасля гэтага зробім замену . Маем

Падынтэгральную функцыю раскладзем на суму простых дробаў

.

Метадам дамнажэння вылічаем . Надаючы прыватныя значэнні  і , атрымаем , . Адкуль  

Маем   .

Такім чынам, .   ◄

2º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.

Інтэгралы тыпу  заўсёды рацыяналізуюцца універсальнай падстановай . Сапраўды

У некаторых прыватных выпадках вылічэнне інтэгралаў ад рацыянальна-трыганаметрычных функцый праводзіцца пры дапамозе больш зручных падстановаў.

а) Калі , то інтэграл рацыяналізуецца падста-новаю

б) Калі , то інтэграл рацыяналізуецца падста-новаю

б) Калі , то інтэграл рацыяналізуецца падста-новаю

Прыклад 2.

Прыклад 3.

Прыклад 4.

.

Падынтэгральную функцыю раскладзем на суму простых дробаў з нявызнача-нымі каэфіцыентамі  і метадам дамнажэння атрымаем

3º. Квадратовыя ірацыянальнасці.

Будзем разглядаць інтэгралы тыпу

1) Калі , то , г. зн. што падінтэгральная функцыя ёсць рацыянальная функцыя .

2) Калі , то , г. зн. падінтэгральная функцыя ёсць дробава-лінейная ірацыянальнасць.