Паняцці ліміту і функцыі ёсць асноўныя паняцці матэматычнага аналізу. Пачатак вывучэння паняцця ліміту зроблены ў элементарнай матэматыцы, дзе пры дапамозе лімітавых пераходаў вызначаецца даўжыня акружыны, аб’ём цыліндра, конуса і інш. У гэтым раздзеле мы вывучым паняцці ліміту паслядоўнасці, ліміту функцыі і непарыўнасць функцыі.
def: Калі кожнаму натуральнаму ліку ставіцца ў адпаведнасць рэчаісны лік , то такую функцыю называюць лікавай паслядоўнасцю і абазначаюць . Інакш кажучы, лікавая паслядоўнасць ёсць занумараванае бясконцае мноства рэчаісных лікаў =. Лікі называюцца элементамі лікавай паслядоўнасці , сымбаль называецца агульным элементам лікавай паслядоўнасці, а індэкс – яго нумарам. Такім чынам, кожная лікавая паслядоўнасць змяшчае бясконца многа элементаў, але мноства яе значэнняў можа складацца і з канечнай колькасці лікаў.
Прыклады. 1) Калі лікавая паслядоўнасць мае агульны элемент , г.зн. , то мноства яе значэнняў ёсць бясконцае і складаецца з рацыянальных лікаў тыпу .
2) У паслядоўнасці , г.зн. мноства значэнняў складаецца з двух лікаў : 0 і 2.
3) Лікавая паслядоўнасць называецца сталаю паслядоўнасцю і мноства яе значэнняў складаецца з адзінага рэчаіснага ліку .
Увядзем арыфметычныя дзеянні над лікавымі паслядоўнасцямі.
def: Няхай зададзены дзве лікавыя паслядоўнасці . Сумай лікавых паслядоўнасцяў і называецца лікавая паслядоўнасць ; розніцаю – ; здабыткам – ; дзеллю – , калі ; здабыткам лікавай паслядоўнасці на лік называецца лікавая паслядоўнасць . Такім чынам,
def: Лікавая паслядоўнасць называецца абмежаванаю зверху [знізу], калі мноства яе элементаў абмежаванае зверху [знізу], г.зн []: . Калі лікавая паслядоўнасць абмежаваная як зверху, так і знізу, то яна называецца абмежаванаю , г.зн. . (Ці вынікае з умовы абмежаванасць паслядоўнасці ? Не, яна можа быць неабмежаванаю знізу.)
Практыкаванне Сфармуляваць азначэнне неабмежаванасці лікавай паслядоўнасці . ()
Прыклады.
1) Лікавая паслядоўнасць – абмежаваная знізу, але неабмежаваная зверху (1– ніжняя мяжа) . Такім чынам, лікавая паслядоўнасць – неабмежаваная.
2) Лікавая паслядоўнасць – абмежаваная. (0,1 – адпаведна ніжняя і верхняя межы)
3) Лікавая паслядоўнасць – неабмежаваная, прычым з абодвух бакоў. (Чаму?)
def: Лікавая паслядоўнасць называецца бясконца вялікаю паслядоўнасцю (бвп), калі . Гэтае азначэнне раўназначнае таму, што ў (бвп) толькі канечная колькасць элементаў належыць адрэзку .
Чым адрозніваецца бясконца вялікая паслядоўнасць ад неабмежаванай лікавай паслядоўнасці?
Заўвага. Усякая бясконца вялікая паслядоўнасць ёсць неабмежаваная, але неабмежаваная лікавая паслядоўнасць можа і не быць бясконца вялікаю паслядоўнасцю. Напрыклад, неабмежаваная лікавая паслядоўнасць не ёсць бясконца вялікая паслядоўнасць таму, што пры няроўнасць не праўдзіцца для ўсіх элементаў паслядоўнасці з няцотнымі нумарамі.
def: Лікавая паслядоўнасць называецца бясконца малою паслядоўнасцю (бмп), калі . Гэтае азначэнне раўназначнае таму, што ў (бмп) толькі канечная колькасць элементаў належыць мноству , або знаходзіцца па-за інтэрвалам .
Прыклад. Дакажам, што лікавая паслядоўнасць ёсць бясконца малая паслядоўнасць.
∆ Возьмем . З няроўнасці . Калі , то , г.зн. ёсць бясконца малая паслядоўнасць. ◄
Тэарэма (сувязь паміж (бмп) і (бвп)). Калі лікавая паслядоўнасць ёсць (бвп) і то лікавая паслядоўнасць ёсць (бмп). Калі лікавая паслядоўнасць – (бмп) і то лікавая паслядоўнасць – (бвп).
□ Няхай – (бвп). Возьмем і назавем . На падставе азначэння бясконца вялікай паслядоўнасці для гэтага . Адсюль вынікае , г.зн. – (бмп).
Аналагічна даказваецца другая частка тэарэмы. ■
М-Лема для (бмп). Калі дзе не залежыць ні ад , ні ад , то лікавая паслядоўнасць ёсць (бмп).
□ Возьмем і назавем . На падставе ўмовы лемы для гэтага . Абазначым далей праз значэнне . Такім чынам, маем , г.зн. – (бмп). ■
Разгледзім асноўныя ўласцівасці бясконца малых паслядоўнасцяў.
1º. Сума і розніца дзвюх (бмп) ёсць таксама (бмп).
□ Няхай і – (бмп) г.зн. Назавем . Тады . Паводле М-Лемы – (бмп). ■
Вынік. Алгебраічная сума канечнай колькасці бясконца малых паслядоўнасцяў ёсць бясконца малая паслядоўнасць.
2º. Здабытак дзвюх (бмп) ёсць таксама (бмп).
□ Няхай ёсць (бмп), таму . Калі ж таксама (бмп), то возьмем і для яго знойдзем . Няхай . Тады , г.зн. –(бмп). ■
Вынік. Здабытак канечнай колькасці бясконца малых паслядоўнасцяў ёсць бясконца малая паслядоўнасць.
Заўвага. Дзель дзвюх (бмп) можа і не быць (бмп). Напрыклад, калі , то – не ёсць (бмп); калі ж , то – (бмп), а – бясконца вялікая паслядоўнасць,.
3º. Здабытак абмежаванай лікавай паслядоўнасці на (бмп) ёсць (бмп).
□ Няхай – абмежаваная лікавая паслядоўнасць, г.зн. . Паколькі ж – (бмп), то . Такім чынам, маем . Паводле М-Лемы – (бмп) ■
Вынік. Здабытак бясконца малой паслядоўнасці на лік ёсць бясконца малая паслядоўнасць, г.зн. – (бмп) , калі – (бмп).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.