Тэорыя лімітаў. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежныя паслядоўнасці, страница 6

Пабудуем падпаслядоўнасць  лікавай паслядоўнасці , якая збягаецца да ліку . У якасці  возьмем адвольны элемент лікавай паслядоўнасці . За  возьмем адвольны элемент паслядоўнасці  з адрэзку , для якога  (такі выбар магчымы, бо адрэзку  належыць бясконца многа элементаў паслядоўнасці ). У якасці  возьмем элемент паслядоўнасці , які належыць адрэзку  і для якога  і г.д. Такім чынам, маем

                                                     (3)

Пакажам, што . Сапраўды, з (2) і (3) вынікае

  

На падставе прынцыпу двух міліцыянтаў атрымліваем г.зн.  Гэта і азначае існаванне збежнай падпаслядоўнасці ў абмежаванай паслядоўнасці.    à

§2.5. Фундаментальныя паслядоўнасці.

Азначэнне збежнай паслядоўнасці не дае магчымасці даследаваць збежнасці паслядоўнасці, калі мы не ведаем яе ліміту. Таму для нас важна мець “нутраную” прыкмету збежнасці паслядоўнасці (крытэр Кашы), які мы дакажам далей.

def: Лікавая паслядоўнасць  называецца фундаментальнаю, калі

, або інакш

.

Тэарэма 1. (неабходная ўмова фундаментальнасці). Калі лікавая паслядоўнасць фундаментальная, то яна абмежаваная.

□ Няхай  ёсць фундаментальная лікавая паслядоўнасць. Тады мае месца

.

Зафіксуем лік   і атрымаем

.

Калі ўзяць  то  г.зн.  – абмежаваная лікавая паслядоўнасць.   ■

Тэарэма2 (Крытэр Кашызбежнасці лікавай паслядоўнасці). Для таго каб лікавая паслядоўнасць  была збежнаю, неабходна і дастаткова, каб яна была фундаментальнаю.

□ Неабходнасць. Няхай  – збежная і лік  яе ліміт, г.зн.

  .

Тады пры маем

Згодна з М‑лемаю – фундаментальная паслядоўнасць.

Дастатковасць. Няхай – фундаментальная. На падставе неабходнай умовы фундаментальнасці яна абмежаваная. Згодна з прынцыпам выбару з яе можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць . Няхай  Пакажам, што  

Возьмем  З фундаментальнасці  вынікае, што  , а тым самым , бо .

А паколькі  то

Калі  то

гэта значыць    ■

Прыклад 1.

∆ Дакажам, што паслядоўнасць фундаментальная. Разгледзім . Улічваючы, што , атрымаем.

Гэта і азначае, што паслядоўнасць  – фундаментальная, а згодна з крытэрам Кашы – збежная. ◄

Заўвага. Пры гэтым мы даказалі, што шэраг  і шэраг – збежныя (Чаму?).

Прыклад 2.

∆ Пакажам, карыстаючыся крытэрам Кашы, што паслядоўнасць разбежная. Дзеля гэтага запішам адмаўленне фундаментальнасці лікавай паслядоўнасці:   Возьмем . Няхай  г.зн. . Возьмем  г.зн.  Маем  Гэта азначае, што паслядоўнасць не з’яўляецца фундаментальнаю, а, згодна з крытэрам Кашы, гэтая паслядоўнасць разбежная. Пры гэтым шэраг , які называецца гарманічным, таксама разбежны.  ◄