(1)
Адкуль
(2)
З (1) і (2) атрымаем, або
.
З тэарэмы пра сціснутую паслядоўнасць вынікае , а на
падставе крытэра Гайне маем
Пакажам далей, што Возьмем
.
Відочна, што
пры
.
Таму
■
Заўвага 1. Калі ўзяць , то пры
. Таму
Заўвага 2. Калі пры
, то і
Прыклад.
§2.8. Непарыўнасць функцыі. Пункты разрыву.
Пры азначэнні ліміту функцыі fу
пункце мы
меркавалі, што функцыя ў гэтым пункце можа быць і нявызначанай. Так, да
прыкладу, функцыя
нявызначана
ў пункце
, а
яе ліміт у гэтым пункце роўны 1. Надалей нас будуць цікавіць функцыі,
вызначаныя ў разгляданым пункце.
def:
Функцыя называецца
непарыўнаю ў пункце
, калі яна
вызначана ў ваколлі гэтага пункта і
. Пры
гэтым пункт
называецца
пунктам непарыўнасці функцыі f . Гэтае
азначае:
“на мове ”:
,
і “на мове паслядоўнасцяў”: .
def:
Пункт называецца
ізаляваным пунктам абсягу вызначэння D(f) функцыі
f, калі існуе акруга пункта
, якая не змяшчае іншых, акрамя
,
пунктаў абсягу D(f), г.зн.
.
У ізаляваным пункце функцыя лічыцца непарыўнаю.
def:
Розніцу назавем
прыростам аргумента функцыі ў пункце
і абазначым яго
, а
розніцу
назавем
прыростам функцыі, які адпавядае прыросту
і
абазначым яго
.
Такім чынам, маем
.
Пры такіх абазначэнных непарыўнасць выражаецца
роўнасцю , што азначае: малому
прыросту аргумента адпавядае малы прырост функцыі.
def:
Функцыя называецца непарыўнаю
справа (злева) у пункце
, калі
.
З тэарэмы пра аднабаковыя ліміты вынікае, што функцыя
ёсць непарыўная ў пункце,
калі і толькі калі яна непарыўная ў гэтым пункце як злева, так і справа.
def: Функцыя называецца непарыўнаю на інтэрвале,
калі яна непарыўная ў кожным пункце гэтага інтэрвала. Функцыя называецца непарыўнаю
на адрэзку ,
калі яна непарыўная на інтэрвале
і непарыўная
справа ў пункце
і
злева ў пункце
.
def:
Калі функцыя f вызначана ў праколатай акрузе пункта a , а ў
пункце a функцыя не з’яўляецца непарыўнаю, то пункт a
называецца пунктам разрыву
функцыі f , г.зн. пункт ёсць
пункт разрыву функцыі
,
калі не выконваецца прынамсі адна з умоваў:
.
Прыклады. 1). пункт
нявызначанасці; 2).
,
– не існуе ліміт. 3).
ліміт не роўны
значэнню функцыі ў пункце.
Сярод пунктаў разрыву сустракаюцца некалькі розных выпадкаў.
1º. Функцыя мае ліміт у пункце разрыву.
def:
Пункт разрыву функцыі называецца
пунктам скасавальнага разрыву, калі ў гэтым пункце функцыя мае ліміт,
г.зн. існуюць абодва аднабаковыя ліміты і
.
Пры гэтым
у
пункце скасавальнага разрыву або нявызначана, або
.
Напрыклад, Функцыя мае ў пункце
скасавальны
разрыў. Калі ж разгледзець функцыю
, то яна
непарыўная ў пункце
,
г.зн. мы давызначылі функцыю
у
пункце
па непарыўнасці.
Таму разрыў і называецца скасавальным.
2º. Функцыя не мае ліміту ў пункце разрыву, але існуюць абодва аднабаковыя ліміты.
def: Калі існуюць абодва аднабаковыя ліміты, але , то пункт
разрыву
называецца
пунктам скачка .
Напрыклад, пункт функцыі
Хэвісайда
ёсць пункт скачка.
def: Пункты скасавальнага разрыву і скачка называюцца пунктамі разрыву першага роду, г.зн. пункты, у якіх існуюць абодва аднабаковыя ліміты.
def: Функцыю, якая мае на мностве канечную
колькасць разрываў толькі першага роду, называюць кавалкава-непарыўнаю на
мностве
.
3º. Не існуе прынамсі адзін з аднабаковых лімітаў.
def: Калі ў пункце разрыву не існуе прынамсі адзін з аднабаковых лімітаў, то пункт разрыву называецца пунктам разрыву другога роду.
Прыклады.
1).Функцыя пункт
2).
, пункт
3). Пакажам, што правабаковы ліміт у пункце 0 не існуе.
Дзеля гэтага разгледзім дзве лікавыя
паслядоўнасці
(тут ) і
(тут
). Пры гэтым
Гэта азначае, што не існуе.
1о. Арыфметычныя дзеянні з непарыўнымі функцыямі.
Калі функцыі непарыўныя
ў пункце
, то функцыі
таксама непарыўныя ў пункце
(у выпадку дзелі пры ўмове
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.