Тэорыя лімітаў. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежныя паслядоўнасці, страница 10

def: Няхай функцыя  вызначаная на  і строга манатонная на , г.зн. , а тым самым  існуе толькі адзін лік  такі, што . Такім чынам на мностве  вызначана функцыя, якая называецца адваротнаю функцыяй да функцыі  і абазначаецца . Відочна, што , а    

Тэарэма 3 (пра непарыўнасць адваротнай функцыі). Калі функцыя  ёсць непарыўная і строга манатонная на адрэзку , то вызначаная на мностве яе значэнняў  адваротная да яе функцыя  ёсць непарыўная на .

□ Няхай  ёсць нарастальная на , тады  На адрэзку  вызначана функцыя , прычым, калі , то .  Гэта азначае, што функцыя  ёсць нарастальная на адрэзку . Паколькі мноствам яе значэнняў з’яўляецца адрэзак , то згодна з тэарэмаю 2 функцыя – непарыўная на адрэзку . Аналагічна разглядаецца выпадак спадальнай функцыі.  ■

§2.11. Непарыўнасць асноўных элементарных функцый.

Нагадаем, што азначае непарыўнасць функцыі  у пункце :                            .

1º. Сталая функцыя. Функцыя  ёсць непарыўная на .    

□ Сапраўды, паколькі , які б лік  ні ўзялі. Гэта і азначае непарыўнасць функцыі ў кожным пункце  ■

2º. Тоесная функцыя. Функцыя  ёсць непарыўная на .

□ Возьмем адвольны лік  і няхай  Калі , то . Гэта і азначае, што , або– непарыўнасць функцыі ў кожным пункце  ■

3º.Мнагасклад. Функцыя - непарыўная на .

□ Сапраўды  а мнагасклад ёсць функцыя непарыўная як сума непарыўных функцый . ■

4º. Рацыянальная функцыя. Функцыя  ёсць непарыўная на  акрамя тых пунктаў, дзе назоўнік роўны нулю.

□ Доказ вынікае з таго, што ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў, калі дзельнік не роўны нулю. ■

5º. Трыганаметрычныя функцыі. 1). Функцыя – непарыўная на  .

□ Спачатку дакажам, што  Калі  (гл. §2.7.), а таму  Калі  і тады маем  Калі ж , то з няроўнасці  вынікае, што 

Возьмем , маем

 для ўсіх , якія адпавядаюць няроўнасці  Гэта і азначае непарыўнасць сінуса ў пункце , а тым самым і на ўсёй лікавай прамой. ■

2). Функцыя – непарыўная на .

Доказ праводзіцца аналагічна на падставе роўнасці

, або на падставе тэарэмы пра непарыўнасць кампазіцыі і роўнасці  

3). Функцыі – непарыўныя на.абсягу іх існавання як дзель непарыўных функцый.

6º. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі. Функцыі  непарыўныя на абсягу іх вызначэння як адваротныя да непарыўных функцый.

7º. Экспанента. Функцыя  ёсць непарыўная на .

□ Спачатку дакажам, што экспанента непарыўная ў пункце  Дастаткова даказаць, што , паколькі  Дзеля гэтага пакажам, што . Пры вылічэнні правабаковага ліміту ў пункце  скарыстаем крытэр Гайнэ і разгледзім паслядоўнасць  Пераканаемся, што паслядоўнасць  ёсць спадальная. Маем

Такім чынам, , што і азначае спадальнасць паслядоўнасці . Паколькі яе ліміт  і паслядоўнасць спадальная, то  Адсюль маем  Згодна з тэарэмаю пра сціснутую зменную , а тым самым  

Як і ў выпадку грунтоўнага ступенева-паказнікавага ліміту   Калі ўзяць адвольную лікавую паслядоўнасць , то  Няхай . Маем . Паколькі , то  З апошняй няроўнасці на падставе тэарэмы пра сціснутую зменную з улікам  атрымліваем . Згодна з крытэрам Гайнэ маем

Калі , то  Такім чынам,  Тым самым мы даказалі непарыўнась экспаненты ў пункце .

Возьмем . Маем , паколькі   (?). Такім чынам, , што і азначае непарыўнасць экспаненты на ўсёй лікавай прамой. ■

8º. Лагарыфмічная функцыя. Функцыя  ёсць непарыўная на  як адваротная да непарыўнай функцыі . Функцыя  непарыўная на  , паколькі .

9º. Ступеневая функцыя. Функцыя  ёсць непарыўная на  як кампазіцыя непарыўных функцый   ().

10º. Паказнікавая функцыя. Функцыя  ёсць непарыўная на  як кампазіцыя непарыўных функцый . () 

11º. Гіпербалічныя функцыі. Функцыі  ёсць непарыўныя на   ,функцыя – пры   як кампазіцыі непарыўных функцый, і называюцца адпаведна гіпербалічнымі сінусам, косінусам, тангенсам і катангенсам.