Тэорыя лімітаў. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежныя паслядоўнасці

Раздзел 2. Тэорыя лімітаў.

Паняцці ліміту і функцыі ёсць асноўныя паняцці матэматычнага аналізу. Пачатак вывучэння паняцця ліміту зроблены ў элементарнай матэматыцы, дзе пры дапамозе лімітавых пераходаў вызначаецца даўжыня акружыны, аб’ём цыліндра, конуса і інш. У гэтым раздзеле мы вывучым паняцці ліміту паслядоўнасці, ліміту функцыі і непарыўнасць функцыі.

§2.1. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці.

def: Калі кожнаму натуральнаму ліку  ставіцца ў адпаведнасць рэчаісны лік , то такую функцыю называюць лікавай паслядоўнасцю  і абазначаюць . Інакш кажучы, лікавая паслядоўнасць ёсць занумараванае бясконцае мноства рэчаісных лікаў =. Лікі называюцца элементамі лікавай паслядоўнасці , сымбаль  называецца агульным элементам лікавай паслядоўнасці, а індэкс  – яго нумарам. Такім чынам, кожная лікавая паслядоўнасць змяшчае бясконца многа элементаў, але мноства яе значэнняў можа складацца і з канечнай колькасці лікаў.

Прыклады. 1) Калі лікавая паслядоўнасць  мае агульны элемент , г.зн.  , то мноства яе значэнняў ёсць бясконцае і складаецца з рацыянальных лікаў тыпу .

2) У паслядоўнасці , г.зн.  мноства значэнняў складаецца з двух лікаў : 0 і 2.

3) Лікавая паслядоўнасць  называецца сталаю паслядоўнасцю і мноства яе значэнняў складаецца з адзінага рэчаіснага ліку .

Увядзем арыфметычныя дзеянні над лікавымі паслядоўнасцямі.

def: Няхай зададзены дзве лікавыя паслядоўнасці . Сумай лікавых паслядоўнасцяў  і  называецца лікавая паслядоўнасць ; розніцаю – ; здабыткам – ; дзеллю – , калі ; здабыткам  лікавай паслядоўнасці   на лік  называецца лікавая паслядоўнасць . Такім чынам,

def: Лікавая паслядоўнасць  называецца абмежаванаю зверху [знізу], калі мноства яе элементаў абмежаванае зверху [знізу], г.зн  []: . Калі лікавая паслядоўнасць абмежаваная як зверху, так і знізу, то яна называецца абмежаванаю , г.зн. . (Ці вынікае з умовы  абмежаванасць паслядоўнасці ? Не, яна можа быць неабмежаванаю знізу.)

Практыкаванне Сфармуляваць азначэнне неабмежаванасці лікавай паслядоўнасці . ()

Прыклады.

1) Лікавая паслядоўнасць  – абмежаваная знізу, але неабмежаваная зверху (1– ніжняя мяжа) . Такім чынам, лікавая паслядоўнасць  – неабмежаваная.

2) Лікавая паслядоўнасць  – абмежаваная. (0,1 – адпаведна ніжняя і верхняя межы)

3) Лікавая паслядоўнасць  – неабмежаваная, прычым з абодвух бакоў. (Чаму?)

def: Лікавая паслядоўнасць  называецца бясконца вялікаю паслядоўнасцю (бвп), калі . Гэтае азначэнне раўназначнае таму, што ў (бвп)  толькі канечная колькасць элементаў належыць адрэзку .

Чым адрозніваецца бясконца вялікая паслядоўнасць ад неабмежаванай лікавай  паслядоўнасці?

Заўвага. Усякая бясконца вялікая паслядоўнасць ёсць неабмежаваная, але неабмежаваная лікавая паслядоўнасць можа і не быць бясконца вялікаю паслядоўнасцю. Напрыклад, неабмежаваная лікавая паслядоўнасць  не ёсць бясконца вялікая паслядоўнасць таму, што пры  няроўнасць  не праўдзіцца для ўсіх элементаў паслядоўнасці з няцотнымі нумарамі.

def: Лікавая паслядоўнасць  называецца бясконца малою паслядоўнасцю (бмп), калі . Гэтае азначэнне раўназначнае таму, што ў (бмп)  толькі канечная колькасць элементаў належыць мноству , або знаходзіцца па-за інтэрвалам .

Прыклад. Дакажам, што лікавая паслядоўнасць  ёсць бясконца малая паслядоўнасць.

∆ Возьмем . З няроўнасці   . Калі , то , г.зн.  ёсць бясконца малая паслядоўнасць. ◄

Тэарэма (сувязь паміж (бмп) і (бвп)). Калі лікавая паслядоўнасць  ёсць (бвп) і  то лікавая паслядоўнасць  ёсць (бмп). Калі лікавая паслядоўнасць  – (бмп)  і  то лікавая паслядоўнасць  – (бвп).

□ Няхай – (бвп). Возьмем  і назавем . На падставе азначэння бясконца вялікай паслядоўнасці для гэтага . Адсюль вынікае ,  г.зн.  – (бмп).

Аналагічна даказваецца другая частка тэарэмы. ■

М-Лема для (бмп).  Калі дзе  не залежыць ні ад , ні ад , то лікавая паслядоўнасць  ёсць (бмп).

□ Возьмем  і назавем . На падставе ўмовы лемы для гэтага . Абазначым далей праз  значэнне  . Такім чынам, маем , г.зн. – (бмп). ■

Разгледзім асноўныя ўласцівасці бясконца малых паслядоўнасцяў.

1º. Сума і розніца дзвюх (бмп) ёсць таксама (бмп).

□ Няхай  і  – (бмп) г.зн.         Назавем . Тады . Паводле М-Лемы  – (бмп). ■

Вынік. Алгебраічная сума канечнай колькасці бясконца малых паслядоўнасцяў ёсць бясконца малая паслядоўнасць.

2º. Здабытак  дзвюх (бмп) ёсць таксама (бмп).

□ Няхай  ёсць (бмп), таму  . Калі ж  таксама (бмп), то возьмем  і для яго знойдзем   . Няхай . Тады , г.зн. –(бмп). ■

Вынік. Здабытак канечнай колькасці бясконца малых паслядоўнасцяў ёсць бясконца малая паслядоўнасць.

Заўвага. Дзель дзвюх (бмп) можа і не быць (бмп). Напрыклад, калі , то  – не ёсць (бмп); калі ж , то  – (бмп), а  – бясконца вялікая паслядоўнасць,.

3º. Здабытак абмежаванай лікавай паслядоўнасці на (бмп) ёсць (бмп).

□ Няхай  – абмежаваная лікавая паслядоўнасць, г.зн.  . Паколькі ж – (бмп), то   . Такім чынам, маем . Паводле М-Лемы  – (бмп)       ■

Вынік. Здабытак бясконца малой паслядоўнасці на лік ёсць бясконца малая паслядоўнасць, г.зн.  – (бмп) , калі   – (бмп).