Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных

3. Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай

3.1. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных

Няхай функцыя  вызначана ў некаторым ваколлi пункта . Вытворнай функцыi  у пункце  называецца лiк

,                                       (3.1)

калi ён iснуе. Калi ў роўнасцi (3.1) , то вытворная называецца правай i абазначаецца  , калi , то вытворная называецца левай i абазначаецца адпаведна .

ТАБЛIЦА ВЫТВОРНЫХ

1. ;                 2. ;                    3. ;

4. ;                    5.            6. ;

7. ;            8. ;               9.;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ;                15. ;

16. ;           17. .

ПРАВIЛЫ ДЫФЕРЭНЦАВАННЯ

1º. Калi   i     маюць вытворныя ў пункце, то ў гэтым пункце праўдзяцца роўнасцi :

 ;        ;

;                   .

2º. Калi функцыя  мае ў пункце  вытворную , а функцыя  мае ў пункце  вытворную , то складаная функцыя (альбо кампазiцыя функцый)  мае вытворную ў пункце , пры гэтым .

3º. Няхай функцыi  i  вызначаны ў некаторым ваколлi пункта  i параметрычна задаюць у ваколлi  пункта  функцыю . Калi  i  маюць у пункце  вытворныя і калі , то функцыя у пункце  таксама мае вытворную, якую можна знайсці паводле формулы

.                                             (3.2)

Прыклад 1. З дапамогай азначэння знайсці вытворную функцыі .

►  (пры вылічэнні ліміту выкарыстоўвалі формулу розніцы тангенсаў і грунтоў-ны ліміт ).◄

Прыклад 2. Знайсці вытворную функцыі , карыста-ючыся правілам вылічэння вытворнай складанай функцыі.

►Спачатку пададзім функцыю  у выглядзе кампазіцыі элементарных функцый: ; ; . Цяпер на пад-ставе правіла вылічэння вытворнай складанай функцыі і табліцы вытвор-ных атрымліваем:

.

Заўважым, што вытворная вылічаецца ў адваротным парадку ў параў-нанні з тым, у якім вылічаецца значэнне самой функцыі. ◄

Прыклад 3. Знайсці вытворную ступенева-паказнікавай функцыі

   .                                       (3.3)

►Першы спосаб. Пададзім функцыю як паказнікавую: . Тады на падставе правіла дыферэнцавання складанай функцыі маем

 

Другі спосаб. Пралагарыфмуем роўнасць (3.3). Атрымаем

.                                     (3.4)

Цяпер знойдзем вытворныя ад абедзвюх частак роўнасці (3.4):

.

З апошняй роўнасці і знаходзім .◄

З а ў в а г а. Для функцыі  вытворная  называецца лагарыфмічнай вытворнай.

Прыклад 4. Вылічыць  для функцыі, зададзенай у палярных каар-дынатах раўнаннем , , у пункце .

►Запішам гэтую функцыю ў параметрычным выглядзе, калі лічыць параметрам палярны вугал . Маючы на ўвазе, што палярныя і дэкар-тавыя каардынаты звязаны паміж сабой формуламі , , атрымліваем . Цяпер вытворная знаходзіцца паводле формулы (3.2):

    

 

Такім чынам, .◄

ЗАДАЧЫ

3.1.  Карыстаючыся азначэннем, знайдзіце вытворныя наступных функ-цый:  1) ;  2) ;  3) ;  4) .

3.2.  Вылічыце вытворныя наступных функцый:  1) ; 2) ;   3) ;   4) ; 5) ;    6) ;              7) ;    8) ; 9) ; 10) ;           11) ; 12) ;   13) ; 14)  15)   16) ;     17) ; 18) ;              19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) , ;    26) , ; 27) ,, ;               28) , ; 29) ;                        30) ; 31) ; 32) ; 33) .

3.3.  Знайдзіце вытворныя і нарысуйце графікі функцый і іх вытворных, калі: 1) ;  2) .

3.4.  Няхай , а функцыя  непарыўная ў некаторым ваколлі пункта . Знайдзіце .

3.5.  Знайдзіце вытворную функцыі  у пункце , калі: 1) , =0;    2), =0; 3), =1;                   4), =.

3.6.  Знайдзіце левую  і правую  вытворныя функцыі  у пункце , калі: 1) , =2; 2) , =1; 3) , =0 ;      4) , = –1; 5)    ; 6)    .

3.7.  Даследуйце, ці будзе функцыя  ў пункце : а) непарыўнай; б) дыферэнцавальнай, калі: 1)    2)    3)    4) ,

3.8.  Вызначыце, пры якіх значэннях   і  наступныя функцыі будуць а) скрозь непарыўныя; б) скрозь дыферэнцавальныя. Для гэтых зна-чэнняў  і  знайдзіце вытворныя зададзеных функцый: 1)  2)  3)  4).

3.9.  Пры якіх значэннях  функцыя : 1) непарыўная; 2) мае вытворную; 3) мае непарыўную вытворную?

3.10.  Знайдзіце вытворныя адваротных функцый і абсягі іх існавання для наступных функцый: 1) ;         2) ; 3) ;   4) .

3.11.  Знайдзіце вытворныя  для функцый, якія зададзены параметрычна: 1)  3)                            2)     4)

3.12.  Пакажыце, што функцыя , якая зададзена параметрычна, праўдзіцуь адпаведную роўнасць: 1)  ,  2) ,

3.13.  Знайдзіце  для функцый, зададзеных у палярных каардынатах: 1)  (спіраль Архімеда) ; 2)  (кардыёіда) ; 3)  (лагарыфмічная спіраль).