Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных, страница 2

3.14.  Знайдзіце  у зададзеным пункце для наступных функцый: 1)    2)

3.15.  Пакажыце, што функцыя  мае пункты недыферэнцавальнасці ў кожным ваколлі пункта =0, але з’яўляецца дыферэнцавальнай у гэтым пункце.

3.16.  Ці будуць праўдзівымі сцверджанні: 1).“Калі  мае вытворную ў пункце, , а  не мае вытворнай у пункце, то а)  не мае вытворнай у пункце ; б)  не мае вытворнай у пункце ”. 2).“Калі  і  не маюць вытворных у пункце , то а)  не мае вытворнай у пункце ; б)  не мае вытворнай у пункце ”? (Калі сцверджанне ёсць непраўдзівае, падайце адпаведны прыклад.)

3.17.  Ці будуць праўдзівымі сцверджанні: 1) “Калі   , то  ”. 2) “Калі  , то   “.    3)“Калі  і , то  ”?

3.18.  Ці будуць праўдзівымі наступныя сцверджанні:   1) “Для таго каб дыферэнцавальная на  функцыя  мела мана-тонную на  вытворную, неабходна, каб  была манатоннай на ”. “; 2) “Для таго каб дыферэнцавальная на  функцыя  мела мана-тонную на  вытворную, дастаткова, каб  была манатоннай на ” 3) “Для таго каб дыферэнцавальная функцыя мела перыядычную вытворную, неабходна, каб функцыя была перыядычнай”. 4) “Для таго каб дыферэнцавальная функцыя мела перыядычную вытворную, дастаткова, каб функцыя была перыядычнай”?

3.19.  Дакажыце, што вытворная цотнай функцыі ёсць функцыя няцотная, а няцотнай – цотная.

3.20.  Падайце прыклад функцыі, якая мае вытворную ўсюды, за выклю-чэннем пунктаў , , .

3.21.  Падайце прыклад складанай функцыі , якая мае вытворную ў пункце  і для якой: 1)   існуе,  не існуе;  2)  не існуе,  існуе; 3)  і  не існуюць (тут ).

3.2. ГЕАМЕТРЫЧНЫ І ФІЗІЧНЫ СЭНС ВЫТВОРНЫХ.

1º. Геаметрычны сэнс вытворных. Калі функцыя  мае вытворную ў пункце , тады   з’яўляецца вуглавым каэфіцыентам датычнай да графіка функцыі  у пункце . У гэтым выпадку датычная і нармаль да крывой  у пункце  задаюцца адпаведна раўнаннямі:

 – датычная,  – нармаль.

Калі  непарыўная ў пункце  і , то графік функцыі ў гэтым пункце мае вертыкальную датычную і гарызантальную нармаль, якія адпаведна задаюцца наступнымі раўнаннямі:  – датычная,  – нармаль.

Калі , то раўнанне нармалі мае выгляд .

2º. Фізічны сэнс вытворных. Вытворная функцыі  у пункце  ёсць імгненная хуткасць змянення гэтай функцыі ў пункце .

Прыклад 1. Запісаць раўнанні датычнай і нармалі да графіка крывой ,  у пунктах: а) ; б) ; в) .

►Знойдзем вытворную паводле правіла вылічэння вытворнай функцыі, зададзенай параметрычна: .

а) Калі , то , , . Тады  – раўнанне датычнай,  – раўнанне нармалі.

б) Калі , то , . Атрымліваем:  – раўнанне датычнай,  – раўнанне нармалі.

в) Пры  маем  і            На падставе сказанага вышэй, датычная мае раўнанне , а нармаль – .◄

Прыклад 2. Пад якім вуглом перасякаюцца крывыя  і ?

►Пад вуглом паміж дзвюма крывымі разумеюць вугал паміж іх датычнымі ў пункце перасячэння крывых. Тангенс вугла паміж дзвюма прамымі  і  можна знайсці паводле формулы . Пункты перасячэння крывых знойдзем як развязкі сіс-тэмы раўнанняў: . Атрымліваем два пункты: і . Цяпер вылічым вытворныя разгляданых функцый:  , . Калі  і  ёсць вуглавыя каэфіцыенты датычных да графікаў функцый ў пункце , то ,  і , а . Разгледзім цяпер пункт . Калі , то , і графік функцыі  датыкаецца да восі . Калі ж , то, і графік гэтай функцыі датыкаецца да восі . Такім чынам, вугал паміж крывымі  і  у пункце  будзе роўны .◄

Прыклад 3. Колькасць цеплыні  Дж, неабходнай для награвання 1 кг вады ад  да , вызначаецца формулай . Знайсці цеплаёмістасць вады пры .

►Цеплаёмістасцю  рэчыва называецца фізічная велічыня, лікава роўная хуткасці змянення колькасці цеплыні. Таму . Калі ў апошнюю роўнасць падставіць значэнне , то атрымаем . ◄

ЗАДАЧЫ

3.22.  Для зададзенай крывой у зададзеным пункце складзіце раўнанне а) датычнай; б) нармалі:              1) , ;         2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , , ;  6) , , ; 7) , , .