Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных, страница 8

3.107.  Вылічыце з дапамогай формулы Тэйлара з дадзенай дакладнасцю: 1)  да ;            2)  да ;              3)  да ;
4)  да ;       5)  да ;             6)  да ;
7)  да ;          8)  да  ;           9)  да .

3.108.  Дакажыце ірацыянальнасць лікаў , , .

3.109.  Знайдзіце такія лікі  і , каб: 1)   2) .

3.110.  Няхай  - двойчы дыферэнцавальная функцыя на  і няхай  верхнія межы функцый  , , . Дакажыце, што .

3.111.  Няхай  - двойчы дыферэнцавальная функцыя на  ,  абмежаваная на  і , калі  . Дакажыце, што , калі  .

3.112.  Вылічыце кратнасць нуля функцыі ў дадзеным пункце : 1) ,;       2) , ;     3) ; 4) , ;   5) , ; 6) , ; 7) , ; 8) , .

3.113.  Дастасуйце формулу Тэйлара для доказу правіла Лёпіталя.

3.114.  З формулы Тэйлара атрымайце формулу бінома Ньютана.

3.115.  Дакажыце наступныя сцверджанні: 1) Калі функцыя  мае ў пункце  вытворную другога парадку, то

,  

2) Ці магчымая такая функцыя , што існуе , але яна не мае вытворнай другога парадку.

3.116.  Дастасуйце формулы Маклёрэна вядомых функцый для вылічэння лімітаў: 1)    2)   3)   4)  5)  6)   7)            8)  9)  10)       11)  12)            13)  14)                              15)  16) 17)  18)  19)  20)  21)          22)   23)   24)  25)  26)   27)   28)             29)   30)          31)  

3.7. ДАСЛЕДАВАННЕ ФУНКЦЫІ І БУДАВАННЕ ГРАФІКА.

Функцыя  называется нарастальнай (спадальнай) на інтэрвале , калі для адвольных , ,  мае месца няроўнасць   . Дыферэнцавальная функцыя  з’яўляецца нарастальнай (спадальнай), калі    . Калі словы “нарастальная (спадальная)” замяніць на “строга нарастальная (спадальная)”, то ўсе знакі ў азначаных няроўнасцях трэба замяніць на строгія.

Пункт  называецца пунктам лакальнага экстрэмуму функцыі , калі існуе такое яго ваколле, што для ўсіх пунктаў ваколля мае месца адна з няроўнасцяў: 1) , 2) . У выпадку 1) пункт  называецца пунктам максімуму, у выпадку 2) – пунктам мінімуму функцыі . Калі , то пункт   называецца стацыянарным. Стацыянарныя пункты і ізаляваныя пункты, у якіх вытворная не існуе, называюцца крытычнымі.

Няхай функцыя  дыферэнцавальная ў некаторым працятым ваколлі пункта  і непарыўная ў пункце . Калі пры  вытворная   , а пры  вытворная  , то  – пункт максімуму (мінімуму). Двойчы дыферэнцавальная функцыя  мае максімум (мінімум) у пункце , калі   .

Функцыя  называецца выпуклай уніз (уверх) на інтэрвале , калі для адвольных пунктаў  і  з гэтага прамежку і адвольных лікаў  такіх, што , , , мае месца няроўнасць  . Двойчы ды-ферэнцавальная функцыя  ёсць выпуклая ўніз (ўверх) на  , калі   для . Пункт, у якім функцыя мяняе кірунак выпукласці, называецца пунктам перагіну. Калі пункт  з’яўляецца пунктам перагіну, то або , або  не існуе.

Экстрэмумы функцыі знаходзяць паводле наступнага правіла:

1. Знаходзяць вытворную .

2. Прыраўноўваюць яе да нуля і знаходзяць стацыянарныя пункты функцыі; вызначаюць пункты, у якіх вытворная не існуе.

3. Даследуюць знакі вытворнай у ваколлі крытычных пунктаў. Калі пры пераходзе праз крытычны пункт вытворная мяняе знак з дадатнага на адмоўны, то ў гэтым пункце функцыя мае лакальны максімум, калі, наадварот, з адмоўнага на дадатны, – мінімум.

Для вызначэння экстрэмуму двойчы дыферэнцавальнай функцыі высвятляюць знак вытворнай другога парадку ў стацыянарным пункце . Калі , то функцыя ў гэтым пункце дасягае максімуму, калі , то функцыя мае мінімум.

Прыклад 1. Знайдзіце экстрэмумы функцыі  

►Да разгляданай функцыі дастасуем пададзенае вышэй правіла.

1.  2. Функцыя мае стацыянарныя пункты , . У пункце  вытворная не існуе. 3. На прамежках ,  вытворная адмоўная, а на прамежках , - дадатная. Пры пераходзе праз пункты  і  вытворная мяняе знак з мінуса на плюс, і значыць, гэтыя пункты з’яўляюцца пунктамі мінімуму, а пры пераходзе праз пункт  вытворная мяняе знак з плюса на мінус, і ў гэтым пункце функцыя дасягае лакальнага максімуму. ◄