Дыферэнцыяльнае злiчэнне функцый адной зменнай. Вытворная. Формулы i правiлы вылiчэння вытворных, страница 9

Каб знайсці найбольшае і найменшае значэнні непарыўнай функцыі  на адрэзку , трэба вызначыць усе яе крытычныя пункты  і выбраць найбольшае і найменшае значэнні сярод лікаў , , .

Прыклад 2. Знайсці найбольшае і найменшае значэнні функцыі  на адрэзку.

►Паводле гэтага правіла знойдзем  і стацыянарныя пункты . Сярод значэнняў , , ,  знойдзем найбольшае і найменшае. Адкуль вынікае, што . ◄

Даследаванне функцыі дзеля пабудовы яе графіка можна праводзіць па наступнай схеме:

1. Знайсці абсяг вызначэння функцыі. Высветліць, ці з’яўляецца яна цотнай, няцотнай, перыядычнай. Знайсці пункты перасячэння графіка функцыі з восямі каардынатаў, прамежкі, дзе значэнні функцыі дадатныя, адмоўныя.

2. Знайсці асімптоты графіка функцыі і аднабаковыя ліміты ў межавых пунктах абсягу вызначэння.

3. Вылічыць першую вытворную функцыі і вызначыць пункты экстрэ-муму, а таксама прамежкі яе нарастання і спадання.

4. Вылічыць вытворную другога парадку і вызначыць пункты перагіну графіка функцыі, прамежкі выпукласці.

Прыклад 3. Даследаваць функцыю .

►Правядзём даследаванне функцыі паводле пададзенай схемы.

1. Абсяг вызначэння функцыі ёсць уся рэчаісная вось, акрамя пункта . Абцысы пунктаў перасячэння графіка функцыі з восямі каардына-таў ёсць , . Функцыя дадатная на  і адмоўная на .

2. Знойдзем асімптоты графіка функцыі. Дастасуем формулу Маклёрэна для экспаненты, пасля чаго атрымаем  . Адкуль вынікае, што асімптотай графіка функцыі будзе прамая . Каб знайсці вертыкальныя асімптоты, вылічым  і  Такім чынам, існуе вертыкальная асімптота , да якой графік функцыі набліжаецца злева.

3. Вылічым першую вытворную  Прыраўняем яе да нуля і знойдзем стацыянарныя пункты , , . Даследуем знакі вытворнай, адкуль маем, што на , і  функцыя спадае, а на , ,  – нарастае. А гэта значыць, што  – пункт максімуму, а ,  – пункты мінімуму, прычым    

4)Вылічым другую вытворную  У пунктах ,  другая вытворная мае нулявое значэнне. На  функцыя выпуклая ўніз, паколькі , а на  і  – выпуклая ўверх, таму што . Адкуль вынікае, што пункты  і  з’яўляюцца  пунктамі перагіну. ◄

ЗАДАЧЫ

3.117.  Знайдзіце прамежкі нарастання і спадання функцый 1)          2)      3)  
4)               5)                  6)    
7)  8)   9)    10)      11) 12)

3.118.  Пры якіх значэннях параметра  функцыя нарастае на ўсёй восі: 1)              2) 3)  4) ?

3.119.  Знайдзіце прамежкі нарастання функцыі, зададзенай парамет-рычна:
1)  2)

3.120.  Дакажыце, што нарастальная дыферэнцавальная функцыя мае не-адмоўную вытворную.

3.121.  Дакажыце, што дыферэнцавальная строга нарастальная на  функцыя мае прынамсі адзін пункт, дзе .

3.122.  Знайдзіце экстрэмумы наступных функцый: 1)  2)  3)
4)   5)     6);
7)          8)  
9)         10)                11)    12)               13)              14)    15)                      16)                 17)     18)             19)  

3.123.  Знайдзіце экстрэмумы функцый, зададзеных няяўна. 1)         2)

3.124.  Даследуйце на экстрэмум функцыі, зададзеные параметрычна. 1)   2)   3)                4)

3.125.  Дакажыце праўдзівасць наступных няроўнасцяў. 1)            2)     3)  4)   5)   6)   7)     8)  

3.126.  Высветліце, ці распаўсюджваецца на рэчаісныя значэнні  няроў-насць Бэрнулі , праўдзівая для натуральных .

3.127.  Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцый на дадзеным прамежку: 1)              2)  3)                     4)   5),            6)  7) 8)  9)                            10)

3.128.  Знайдзіце пункты перфгіну і інтэрвалы выпукласці функцый: 1)  2)  3)      4)   5)                  6)    7)          8)   9)                 10)           11)      12)

3.129.  Знайдзіце пункты перагіну графіка функцыі, зададзенай у пара-метрычнай форме: 1)               2)