def. Няхай функцыя вызначана ў акрузе пункта . Калі існуе , то гэты ліміт называецца вытворнай функцыі у пункце . (У азначэнні нічога не гаворыцца ні пра існаванне ліміту функцыі, ні пра яе непарыўнасць у пункце .)
Звычайна вытворную абазначаюць або паводле Лягранжа, або – паводле Ляйбніца. Ужываюцца таксама наступныя абазначэнні: – паводле Ньютана, – паводле Кашы.
Скарыстоўваючы паняцці прыросту аргументу і прыросту функцыі, атрымліваем:
.
► 1) ;
2) , . (Вытворная існуе толькі пры , хаця функцыя вызначана і непарыўная пры .) ◄
Зазначым, што абазначэнне азначае , а як вытворная канстанты. Так для функцыі маем , але .
def. Калі існуюць і то іх называюць адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі у пункце і абазначаюць адпаведна і .
З уласцівасцяў лімітаў вынікае: функцыя мае вытворную ў пункце , калі і толькі калі яна мае левабаковую і правабаковую вытворныя: =,прычым ==.
def. Калі функцыя мае ў пункце вытворную, то гэтую функцыю называюць дыферэнцавальнаюў пункце . З гэтай прычыны аперацыю вылічэння вытворнай функцыі называюць дыферэнцаваннем.
ڤ Няхай для функцыі у пункце існуе вытворная . З існавання ліміту вынікае, што =, дзе пры , адкуль . З апошняй роўнасці выводзім, што калі , то , г.зн. функцыя ёсць непарыўная ў пункце .■
► , . Такім чынам, , і функцыя ёсць недыферэнцавальная ў пункце , хаця гэты пункт ёсць пункт непарыўнасці функцыі .◄
(1)
дзе А не залежыць ад . Пры гэтым А= і
,
або
. (2)
□ (Неабходнасць) Няхай існуе , г.зн. =, адкуль =+, дзе пры . Так што , г. зн. мае месца (2).
(Дастатковасць) Калі для функцыі мае месца выяўленне (1), то
===Α, г. зн. ёсць дыферэнцавальная ў пункце . ■
def. Галоўную лінейную частку прыросту дыферанцавальнай ў пункце функцыі (гл. (1)) называюць дыферэнцыялам функцыі і абазначаюць .
Такім чынам,
(3)
Напрыклад, калі разгледзець функцыю , то
, г. зн. . З гэтай прычыны звычайна прырост незалежнай зменнай абазначаюць і таму формула (3) набывае выгляд
Разгледзім геаметрычны сэнс вытворнай і дыферэнцыяла.
Няхай ёсць дыферэнцавальная ў пункце функцыя, а – яе вытворная ў гэтым пункце. Запішам раўнанне сечнай, што праходзіць праз пункты :
, (4)
дзе Х і Y каардынаты пунктаў сечнай.
Калі ў (4) , то вуглавы каэфіцыент сечнай імкнецца да , г. зн.
. (5)
Гэтае раўнанне вызначае лімітавае становішча сечнай, калі .
def. Прамая, да якой імкнецца сечная , калі , называецца датычнай да графіка функцыі ў пункце .
Такім чынам, (5) –ёсць раўнанне датычнай да графіку функцыі пункце , а вуглавы каэфіцыент датычнай– . Гэта значыць, што вытворная функцыі пункце ёсць вуглавы каэфіцыент датычнай да графіка функцыі ў пункце .
Адначасова атрымліваем, што дыферэнцыял функцыі ёсць яе прырост па датычнай. Пры гэтым, чым меншае значэнне мае прырорст незалежнай зменнай , тым менш адрозніваецца ад , г. зн. або . Такім чынам, маем формулу
(6)
для набліжанага вылічэння значэння функцыі праз дыферэнцыял.
► Разгледзім функцыю . Паколькі , то, згодна з формулаю (6), . Калі ўзяць , то і атрымаецца формуула. У прыватнасці
(як вам падабаецца?);
.
Зазначым, што даказаная формула ёсць прыватны выпадак атрыманай раней формулы . ◄
def. Калі функцыя непарыўная ў пункце і , то кажуць, што функцыя мае ў пункце бясконцую вытворную.
У гэтам выпадку лімітавае становішча сечнай пры вызначаецца раўнаннем . Сапраўды, з (1) атрымліваем , дзе каэфіцыент пры імкнецца да нуля, калі , а таму маем . У гэтым выпадку датычная ёсць паралельная восі Oy
1º. Дыферанцаванне сумы, розніцы, здабытку і дзелі.
□ Доказ правядзем толькі для дзелі
■
2º. Дыферэнцаванне адваротнай функцыі.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.