Дыферэнцыяльнае злічэнне. Вытворная і дыферэнцыял. Адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі

Раздзел 3. Дыферэнцыяльнае злічэнне.

§3.1. Вытворная і дыферэнцыял.

def. Няхай функцыя  вызначана ў акрузе пункта . Калі існуе , то гэты ліміт называецца вытворнай функцыі  у пункце . (У азначэнні нічога не гаворыцца ні пра існаванне ліміту функцыі, ні пра яе непарыўнасць у пункце .)

Звычайна вытворную абазначаюць  або  паводле Лягранжа, або – паводле Ляйбніца. Ужываюцца таксама наступныя абазначэнні: – паводле Ньютана, – паводле Кашы.

Скарыстоўваючы паняцці прыросту аргументу і прыросту функцыі, атрымліваем:

.

Прыклад 1.

► 1)  ;

2) , . (Вытворная існуе толькі пры , хаця функцыя  вызначана і непарыўная пры .)   ◄

Зазначым, што абазначэнне  азначае , а  як вытворная канстанты. Так для функцыі  маем , але .

def. Калі існуюць  і  то іх называюць адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі  у пункце  і абазначаюць адпаведна  і  .

З уласцівасцяў лімітаў вынікае: функцыя  мае вытворную ў пункце , калі і толькі калі яна мае левабаковую і правабаковую вытворныя:  =,прычым  ==.

def. Калі функцыя  мае ў пункце  вытворную, то гэтую функцыю называюць дыферэнцавальнаюў пункце . З гэтай прычыны аперацыю вылічэння вытворнай функцыі называюць дыферэнцаваннем.

Тэарэма 1 (неабходная ўмова дыферэнцавальнасці). Калі функцыя  ёсць дыферэнцавальная ў пункце , то яна непарыўная ў гэтым пункце.

ڤ Няхай для функцыі  у пункце  існуе вытворная . З існавання ліміту вынікае, што =, дзе  пры  , адкуль . З апошняй роўнасці выводзім, што калі , то , г.зн. функцыя  ёсць непарыўная ў пункце .■

Заўвага 1. Непарыўнасць ёсць неабходная ўмова для існавання вытворнай, але недастатковая.

Прыклад 2. .

► , . Такім чынам, , і функцыя  ёсць недыферэнцавальная ў пункце , хаця гэты пункт ёсць пункт непарыўнасці функцыі  .◄

Тэарэма 2 (пра выяўленне дыферэнцавальнай функцыі).  Для таго, каб функцыя   была дыферанцавальнаю ў пункце , неабходна і дастаткова, каб яе прырост ў гэтым пункце меў выяўленне

                                           (1)

дзе А не залежыць ад . Пры гэтым  А= і

,

 або

.                           (2)

□ (Неабходнасць) Няхай існуе , г.зн. =, адкуль =+, дзе  пры . Так што , г. зн. мае месца (2).

(Дастатковасць) Калі для функцыі  мае месца выяўленне (1), то

===Α, г. зн.  ёсць дыферэнцавальная ў пункце .  ■

def. Галоўную лінейную частку  прыросту дыферанцавальнай ў пункце  функцыі  (гл. (1)) называюць дыферэнцыялам функцыі і абазначаюць .

Такім чынам,

                                                  (3)

Напрыклад, калі разгледзець функцыю , то

, г. зн. . З гэтай прычыны звычайна прырост незалежнай зменнай абазначаюць  і таму формула (3) набывае выгляд

Разгледзім геаметрычны сэнс вытворнай і дыферэнцыяла.

Няхай  ёсць дыферэнцавальная ў пункце  функцыя, а – яе вытворная ў гэтым пункце. Запішам раўнанне сечнай, што праходзіць праз пункты :

,                               (4)

дзе Х і Y каардынаты пунктаў сечнай.

Калі ў (4) , то вуглавы каэфіцыент сечнай  імкнецца да , г. зн.

.                                      (5)

Гэтае раўнанне вызначае лімітавае становішча сечнай, калі .

def. Прамая, да якой імкнецца сечная , калі , называецца датычнай да графіка функцыі  ў пункце .

Такім чынам, (5) –ёсць раўнанне датычнай да графіку функцыі  пункце , а вуглавы каэфіцыент датычнай– . Гэта значыць, што вытворная  функцыі  пункце  ёсць вуглавы каэфіцыент датычнай да графіка функцыі ў пункце .

Адначасова атрымліваем, што дыферэнцыял функцыі ёсць яе прырост па датычнай. Пры гэтым, чым меншае значэнне мае прырорст незалежнай зменнай , тым менш адрозніваецца  ад , г. зн.  або .  Такім чынам, маем формулу

                                    (6)

для набліжанага вылічэння значэння функцыі праз дыферэнцыял.

Прыклад 3. Пакажам праўдзівасць формулы , калі α– малая велічыня.

► Разгледзім функцыю . Паколькі , то, згодна з формулаю (6), . Калі ўзяць , то і атрымаецца формуула. У прыватнасці

 (як вам падабаецца?);

.

Зазначым, што даказаная формула ёсць прыватны выпадак атрыманай раней формулы . ◄

def. Калі функцыя  непарыўная ў пункце  і , то кажуць, што функцыя мае ў пункце  бясконцую вытворную.

У гэтам выпадку лімітавае становішча сечнай пры  вызначаецца раўнаннем . Сапраўды, з (1) атрымліваем , дзе каэфіцыент пры  імкнецца да нуля, калі , а таму маем . У гэтым выпадку датычная ёсць паралельная восі Oy

§3.2 Правілы дыферэнцавання.

1º. Дыферанцаванне сумы, розніцы, здабытку і дзелі.

Тэарэма 1.  Калі функцыі u і v маюць ў пункце x вытворныя  і , то сума , розніца , здабытак  і дзель  таксама маюць вытворныя ў гэтым пункце, прычым праўдзяцца наступныя формулы: , ,

.

□ Доказ правядзем толькі для дзелі  

■

2º. Дыферэнцаванне адваротнай функцыі.