Метадам матэматычнай індукцыі няцяжка атрымаць формулы для вылічэння вытворных вышэйшых парадкаў асноўных элементарных функцый.
1º. Ступеневая функцыя: .
. Па
індукцыі
.
У прыватнасці, калі , то
. Такім чынам, n-я вытворная мнагаскладу m-й ступені ёсць роўная нулю, калі n>m
. Чаму роўная
?
2º. Паказнікавая функцыя: .
. Па
індукцыі
.
У прыватнасці
.
3º. Лагарыфмічная функцыя:
.
Па індукцыі .
У прыватнасці .
4º. Сінус і косінус: .
.
Па індукцыі .
У прыватнасці ,
.
Аналагічна .
У прыватнасці ,
.
На падставе атрыманых формул пры А=const., маем:
,
.
5º. Гіпербалічныя функцыі:
На падставе табліцы вытворных маем:
.
У той час як правіла вылічэння першай
вытворнай ад сумы дзвюх функцый лёгка
пераносіцца на выпадак n-й вытворнай
,
пры вылічэнні n-й вытворнай ад здабытку дзвюх функцый
узнікаюць пэўныя цяжкасці. Як вядома
. Але
□ Доказ правядзем метадам матэматычнай індукцыі.
Няхай .
. Формула праўдзівая.
Дапусцім, што формула праўдзіцца для n=m.
Разгледзім
■
► Возьмем . Маем
◄
► Возьмем . Маем
◄
def. Калі функцыя ёсць
дыферэнцавальная ў некаторай акрузе пункта
,
то яе дыферэнцыял
=
(1)
называюць першым дыферэнцыялам функцыі у
пункце
.
Калі пры гэтым дыферэнцыял , які супадае з прыростам
незалежнай зменнай
, не мяняецца, то
дыферэнцыял
ёсць функцыя толькі ад
(
).
def. Дыферэнцыял ад функцыі ў
пункце
называюцьдругім
дыферэнцыялам, або дыферэнцыялам другога парадку функцыі
у пункце
і абазначаюць
.
Выкарыстоўваючы формулу (1) і ўлічваючы, што , атрымоўваем
.
Па індукцыі вызначаецца
калі .
Пры гэтым няцяжка паказаць метадам матэматычнай індукцыі, што
(2)
Адсюль атрымліваем
– яшчэ адзін спосаб для абазначэння вытворнай n – га парадку .
Калі разгледзець ідэнтычную функцыю то з формулы (2) вынікае,
што
.
Заўвага. Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў, у адрозненні ад
першага дыферэнцыяла, не маюць уласцівасці інварыянтавасці формы, г. зн.
формула (2) не праўдзіцца, калі замяніць на
функцыю
.
Сапраўды, ёсць
складаная функцыя і таму
Адкуль
атрымліваем
, або
– у адрозненні ад фрмулы (2) тут маецца дадатковы складнік . Але, калі
, то
, і ў гэтым выпадку выгляд
другога дыферэнцыяла не змяняецца.
Па гэтай прычыне пры вылічэнні дыферэнцыялаў складаных функцый больш зручным уяўляецца выкарыстанне паслядоўнага вылічэння: спачатку вылічаецца першы дыферэнцыял, затым другі і г.д.
Пры вылічэнні дыферэнцыялаў выкарыстоўваюць наступныя правілы:
1. 4.
2. 5.
3.
6.
.
Прыклад: Вылічыць функцыі
►
◄
1º. Параметрычная функцыя.
Няхай на некаторым прамежку Т лікавай восі t зададзены дзве функцыі
,
(1)
Калі функцыя ёсць
строга манатонная, то існуе адваротная функцыя
,
якая вызначана на мностве
.
Разгледзім складаную функцыю
,
вызначаную на мностве
. Кажуць, што функцыя
зададзена параметрычна роўнасцямі (1).
Калі і
непарыўныя
на Т, то адваротная функццыя
ёсць
непарыў-ная на
, а таму складаная
функцыя
таксама
непарыўная на
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.