□ Паколькі ёсць
непарыўная на
, то па другой
тэарэме Ваерштраса яна дасягае на
максімальнага
М і мінімальнага m значэнняў.
Калі ,
то
, а таму
.
Калі ж ,
то з умовы
вынікае,
што функцыя мае прынамсі адно (чаму?) з экстрэмальных значэнняў унутры адрэзка,
г. зн.
такі, што
ёсць экстрэмальнае значэнне
функцыі
. Паколькі
– дыферэнцавальная ў с,
то паводле тэарэмы Фэрма
. ■
Геаметрычны сэнс тэарэмы Ролля: |
|
Прыклад 1. .
Умовы 1), 2) – выконваюцца, 3)– не мае месца:
.
Умовы 1), 3) – выконваюцца, 2)– не мае месца:
□ Пераканаемся спачатку, што . Сапраўды, калі б
, то для функцыі
былі б выкананымі ўсе ўмовы
тэарэмы Ролля, а таму было б праўдзівым сцверджанне:
. Але гэта супярэчыць умове
тэарэмы.
Дзеля далейшага доказу разгледзім дапаможную функцыю , дзе
выберам так, каб
выконвалася ўмова
,
г. зн.
(1)
Паколькі функцыя непарыўная
на
, дыферэнцавальная на
і
, то на падставе тэарэмы
Роля
, г. зн.
, або
. З улікам (1) маем
■
.. (2)
□ Доказ вынікае непасрэдна з тэарэмы Кашы,
калі ўзяць . Маем
. ■
Геаметрычны сэнс тэарэмы Лягранжа: існуе датычная да графіка функцыі |
|
Няхай .
Выберам
так, каб
.
1) Калі ,
то да функцыі
, якая адпавядае
на адрэзку
умовам тэарэмы Лягранжа,
дастасоўваем формулу (2):
.
(3)
Тут , г. зн.
, або
.
Калі абазначыць , то пры
гэтым атрымаем
(4)
2) Калі ж , то,
дастасоўваючы на адрэзку
да
функцыі
формулу (2), атрымаем
, што раўназначна формуле (3).
Тут
, г. зн.
, або
. Калі абазначыць, як і
вышэй,
, то зноў атрымаем роўнасць
(4). Такім чынам, у абодвух выпадках формуле (2) можна надаць наступны выгляд
.
Гэтую формулу называюць формулаю Лягранжа канечных прыростаў.
Доказ некаторых няроўнасцяў зручна праводзіць на падставе формулы Лягранжа.
► Разгледзім функцыю на
адрэзку
Паводле тэарэ-мы Лягранжа
, г. зн.
.
◄
Практыкаванне: Даказаць няроўнасць .
□ (Неабходнасць) Калі , то
.
(Дастатковасць) Няхай . Выберам адвольна
і на адрэзку
да функцыі
дастасуем тэарэму Лягранжа:
. Паколькі
, то
. ■
□ Няхай .
Разгледзім функцыю
. Адсюль маем
. На падставе крытэра сталасці
, г. зн.
. ■
□ Функцыя адпавядае
ўмовам тэарэмы Лягранжа на адрэзку
. Таму
, або
.
(5)
Паколькі , то
, а таму
, або
. ■
Пытанне. Калі ,
то
. Ці так гэта?
► Няхай .
Пры гэтым
.
Паколькі
, то
. На падставе тэарэмы пра
дыферэнцыяльную няроўнасць маем
. ◄
Раней даказалі |
|
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.