Дыферэнцыяльнае злічэнне. Вытворная і дыферэнцыял. Адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі, страница 6

□ Паколькі  ёсць непарыўная на , то па другой тэарэме Ваерштраса яна дасягае на  максімальнага М і мінімальнага m значэнняў.

Калі , то , а таму .

Калі ж , то з умовы   вынікае, што функцыя мае прынамсі адно (чаму?) з экстрэмальных значэнняў унутры адрэзка, г. зн.  такі, што  ёсць экстрэмальнае значэнне функцыі . Паколькі – дыферэнцавальная ў с, то паводле тэарэмы Фэрма .  ■

Геаметрычны сэнс тэарэмы Ролля:

Заўвага 2 Усе тры ўмовы тэарэмы Ролля істотныя. .

Прыклад 1. . Умовы 1), 2) – выконваюцца, 3)– не мае месца:  .

Прыклад 2. . Умовы 2), 3) – выконваюцца, 1)– не мае месца:

Прыклад 3. .

Умовы 1), 3) – выконваюцца,  2)– не мае месца:

Тэарэма Кашы. Калі функцыі  і  – непарыўныя на , дыферэнцавальныя на  і , то

□ Пераканаемся спачатку, што . Сапраўды, калі б , то для функцыі  былі б выкананымі ўсе ўмовы тэарэмы Ролля, а таму было б праўдзівым сцверджанне: . Але гэта супярэчыць умове тэарэмы.

Дзеля далейшага доказу разгледзім дапаможную функцыю , дзе  выберам так, каб выконвалася ўмова  , г. зн.

                                               (1)

Паколькі функцыя  непарыўная на , дыферэнцавальная на  і , то на падставе тэарэмы Роля , г. зн. , або . З улікам (1) маем

        ■

Тэарэма Лягранжа. Калі функцыя  ёсць непарыўная на , і дыферэнцавальныя на , то

..                                      (2)

□ Доказ вынікае непасрэдна з тэарэмы Кашы, калі ўзяць . Маем .   ■

Геаметрычны сэнс тэарэмы Лягранжа: існуе датычная да графіка функцыі , паралельная сечнай, што праходзіць праз пункты . Тут .

Няхай . Выберам  так, каб .

1) Калі , то да функцыі , якая адпавядае на адрэзку  умовам тэарэмы Лягранжа, дастасоўваем формулу (2):

.                                   (3)

Тут , г. зн. , або .

Калі абазначыць , то пры гэтым атрымаем

                                     (4)

2) Калі ж , то, дастасоўваючы на адрэзку  да функцыі  формулу (2), атрымаем , што раўназначна формуле (3). Тут , г. зн. , або . Калі абазначыць, як і вышэй, , то зноў атрымаем роўнасць (4). Такім чынам, у абодвух выпадках формуле (2) можна надаць наступны выгляд

.

Гэтую формулу называюць формулаю Лягранжа канечных прыростаў.

Доказ некаторых няроўнасцяў зручна праводзіць на падставе формулы Лягранжа.

Прыклад 4. Даказаць няроўнасць . 

► Разгледзім функцыю  на адрэзку  Паводле тэарэ-мы Лягранжа , г. зн. .

                                                                                                                              ◄

Прыклад 5. . Такім чынам, .

Практыкаванне: Даказаць няроўнасць .

Тэарэма (крытэр сталасці дыферэнцавальнай функцыі). Для таго каб дыферэнцавальная на адрэзку функцыя была сталаю, неабходна і дастаткова, каб яе вытворная была роўная нулю на гэтым адрэзку.    

□ (Неабходнасць) Калі , то .

(Дастатковасць) Няхай . Выберам адвольна  і на адрэзку  да функцыі  дастасуем тэарэму Лягранжа: . Паколькі , то .   ■

Тэарэма (пра супаданыя вытворныя). Калі дзве функцыі маюць на інтэрвале супаданыя вытворныя, то яны розняцца адна ад другой на гэтым інтэрвале на канстанту. 

□ Няхай . Разгледзім функцыю . Адсюль маем. На падставе крытэра сталасці , г. зн. .   ■

Тэарэма (пра дыферэнцыяльную няроўнасць). Калі функцыі  і  непарыўныя , дыферэнцавальныя  і , а , то .  

□ Функцыя  адпавядае ўмовам тэарэмы Лягранжа на адрэзку . Таму  , або

.                               (5)

Паколькі , то , а таму, або

.   ■

Пытанне. Калі , то . Ці так гэта?

Прыклад 6.  Даказаць няроўнасць .       

► Няхай . Пры гэтым  . Паколькі , то . На падставе тэарэмы пра дыферэнцыяльную няроўнасць маем .   ◄

Раней даказалі  (Прыклад 4)