Погрешность позиционирования промышленного робота. Первичные ошибки. Погрешности обобщенных координат, страница 6

Наиболее трудно формализуемым моментом при выявлении связи ~  является формирование вектора  m_ig¯ , без которого нельзя правильно решить задачу статики звена. Здесь возникает необходимость рассмотрения конструкции звена, причем играют роль не только формы и материал несущей конструкции, но также значения масс и размещение на звене двигателей, редуктора, трансмиссий, датчиков положения и скорости и других деталей.

Однако, на рассматриваемом этапе проектирования МС не следует вдаваться в подробности при исследовании этого вопроса. Разумно предположить прямолинейность и однородность по длине несущей конструкции и придерживаться наиболее простых принципов при учете размещения деталей на несущей конструкции. Так, в случае компоновки двигателя на самом звене можно рассматривать его массу сосредоточенной в левой опоре либо использовать какое-либо другое не слишком обязывающее предположение.

Сложнее дело обстоит с аспектом вычисления функции качества  K₂(). Рассмотрим, например, в качестве этой функции общую массу звена. Напрямую рассчитать массу  m_о   звена через параметры    затруднительно. Однако возможно выявление некоторых первичных параметров, через которые вычисляются и масса звена и коэффициенты жесткости. Рассмотрим подробнее выбор таких параметров.

При оценке массы и коэффициентов жесткости несущей конструкции звена (балки) следует предварительно задаться профилем поперечного сечения балки, причем вначале можно остановиться на простом профиле (прямоугольном или круговом).  Уточнение можно провести позднее на этапе обеспечения прочности конструкции.

Массу балки прямоугольного профиля m_з однозначно определяют два параметра a и b ее поперечного сечения

m_з = ra b l, где r – плотность материала, l – длина звена.

положение центра масс звена в соответствии с принятой однородностью звена по длине находится в геометрическом центре балки. Оценку коэффициентов жесткости балки, защемленной в левом конце при пространственной ориентации, соответствующей положению звена при позиционировании МС  в точке А, можно провести в рамках трех задач теории упругости: на продольное растяжение, кручение и изгибы балки.

Жесткости на растяжение, кручение и изгибы балки определяются выражениями  EF, GJ_x,  ЕJ_у, ЕJ_z, где Е , G – модули упругости первого и второго рода; F – площадь поперечного сечения балки; J_x , J_y , J_z  – осевые моменты инерции сечения балки.

Для балки прямоугольного сечения имеем:

F = ab ; J_x = (1/12)аb(a²+b²) ; J_y = (1/12)а³b ; Jz = (1/12)аb³ . (14)

Использование прямоугольного профиля балки в качестве основной расчетной схемы при синтезе жесткости звена дает завышенные значения для массы, поскольку материальная область, примыкающая к продольной оси балки, слабо сказывается на жесткостных параметрах и сильно влияет на величину массы несущей конструкции. Поэтому для более строгих расчетов можно рекомендовать идеализированную пустотелую балку.

Геометрически наиболее простой является балка с кольцевым сечением. Такая балка имеет хорошие жесткости на изгибы, кручение, причем для одной и той же массы эти жесткости тем выше, чем больше радиус кольца. Однако, бесконечно увеличивать радиус кольца недопустимо, так как согласно балочной теории R<<l, а длина балки ограничена. Целесообразно ввести нормирующий коэффициент   a = 0,05...0,1 и положить   R = a l. При условии тонкости кольца толщиной  h   площадь поперечного сечения и осевые моменты инерции балки будут определяться выражениями:

F_o = 2pRh ;  J_xo » 2pR³h ; J_уo = J_zo= pR³h .    (15)

В этом случае при синтезе жесткости варьируются параметры R , F_o . Расчет коэффициентов жесткости желательно выполнять в заданных точках позиционирования, что позволяет для конкретной нагрузки на звено определить такие значения  R ,  F_o , которые и обеспечивают предписанные точностные показатели.

Приемлемым, но более грубым способом расчета коэффициентов жесткости через физические и геометрические свойства материала является оценка, полученная на основе решения "модельных" задач. Так, при растяжении

С_з^xx =,     (16)

при кручении