Операторный метод расчёта ПП. Основные теоретические положения, страница 3

i(t) = iпр(t) + iсв(t) = 0,707×sin(200t + 135°) – 0,3×e -200t A.

ii. Расчёт операторным методом.

1. Независимое начальное условие –

uC(0+) = uC(0-) = 80 B.

2. Эквивалентная операторная схема на рис. 7.75.

Изображение напряжения источника находим по прямому преобразованию Лапласа:

u(t) = 100×sin(200t+ 90°) 100= u(p).

3. Изображение тока находим по закону Ома, причём с целью получения выражений, соответствующих таблице преобразований Лапласа, полученное выражение разложим на правильные дроби:

I(p) ====

=+=.

Возникает следующая система уравнений:     0,005А + D = 0,001,

A+ 0,005B = 0,

B+ 40000D = -160.

Решение системы:   А = 0,5;     B= -100;     D = -0,0015.

Таким образом,

I(p) =+=+.

Первую дробь приведём к следующему табличному виду:

= М.

Возникает ещё одна система уравнений:

Мsiny = 0,5,                    Мsiny = 0,5,         

200×Мcosy = -100.          Мcosy = -0,5.

tgy = -1,     y = 135°,     М == 0,707.

4. По таблице преобразований Лапласа находим ответ:

i(t) = 0,707×sin(200t+ 135°) – 0,3×e -200t A.

iii. Следует отметить, что при синусоидальном источнике, напряжение или ток которого можно записать в комплексной форме, возможен и другой подход к нахождению изображений и оригиналов величин. Покажем его.

Согласно символическому методу, синусоидальное напряжение равно мнимой части от комплексного мгновенного значения, записываемого в виде экспоненты. Но тогда и изображение напряжения источника может быть получено взятием мнимой части от изображения комплексного мгновенного значения:

u(t) = Um×sin(wt+yu)= Im[Um×e j(wt + yu)]= Im[Ume jyu×e jwt] Im= U(p).

Изображение тока находим по закону Ома по схеме рис. 7.75:

I(p) = Im= Im=

= ImIm, где F1(p) = pC(Ume jyujuC(0))uC(0)wC,

F2(p) = (pjw)(r1Cp + 1).

Оригинал тока найдём с помощью теоремы разложения. Для этого предварительно вычислим:

- корни уравнения  F2(p) = 0:   p1 = jw= j200 с –1;    p2 = -= -200 с –1;

F2¢(p) = 2r1Cp + 1 – jwr1C;   F2¢(p1) = j + 1;   F2¢(p2) = -1 – j;

F1(p1) = Ume jyujwC = 100×j×j×200×50×10 –6 = -1;

-  F1(p2) = -200(100jj80)×50×10 –6 – 80×200×50×10 –6 =

= -0,8 – j0,2 = 0,825×e –j166°.

i(t) = Im= Im=

= Im=×sin(wt +135°) – 0,583sin31°×e -200t =

= 0,707×sin(200t+ 135°) – 0,3×e -200t A.

iV. Наконец, операторным методом можно рассчитать только свободные составляющие тока и напряжения на конденсаторе, предварительно рассчитав принуждённые составляющие символическим методом (см. часть i настоящей задачи):   iпр(t) = 0,707×sin(200t+ 135°) A;

uCпр(t) = 70,7×sin(200t + 45°) B,

uCпр(0) = 70,7×sin45° = 50 B,    uCсв(0) = uC(0) uCпр(0) = 80 50 = 30 B.

Эквивалентная операторная схема для свободного режима представлена на рис. 7.76.

Полученная цепь рассчитывается на основании закона Ома, оригиналы величин находим, используя таблицу преобразований Лапласа.

Iсв(p)====-0,3×e -200t A = iсв(t);

uCсв(p) = Iсв(p)×+ =+ =

====

= 30×e -200t В = uCсв(t).

ЗАДАЧА 7.52. В схеме рис. 7.77 найти ток i1(t), если   e(t) = 100sin(1000t – 15°) В,

r1= r2= 25 Ом,   L = 0,1 Гн,   J = 4 A.

Ответы.   I1(p) =;

i1(t) = -2 + 2sin(1000t – 78,5°) + 3,96e -500t A.

Задача 7.53. В схеме рис. 7.78

r = 100 ОмС = 10 мкФ,   E0 = 300 В,

e(t) = 100sin(1000t – 90°) В.

Определить ток ПП.

Ответы. uС(0) = -300 В, расчётная операторная схема идентична схеме рис. 7.75;

e(t) = -Emcosw0t ;

I(p) ===;

p1,2 = ± jw0 = ± j1000 c -1,   p3 = -1/(rC) = -1000 c -1;

F2¢(p) = 2p(rpC + 1) + (p2 + w02)rC;

i(t) == 2Re+=

=cos(1000t – 135°) + 2,5e -1000t = 0,707sin(1000t – 45°) + 2,5e -1000t A.

ЗАДАЧА 7.54. В схеме рис. 7.79 рассчитать токи i1(t) и i3(t), если   u(t) = U0·e -atU0 = 40 В,

a = 20 c -1,   r1= 5 Омr2= 10 Ом,   L= 100 мГн.

Ответы. U(p) =;

I1(p) ===;

p1= -a = -20 c -1;   p2 =-33,33 c -1;   F2¢(p) = (р+ a)L(r1+ r2) + рL(r1+ r2) + r1·r2;

i1(t) == 16e -20t – 13,33e -33,33t A;

I3(p) = I1(p)·= i3(t) = 20e -20t – 20e -33,33t A.