Операторный метод расчёта ПП. Основные теоретические положения, страница 13

Для выполнения операций преобразования Лапласа в среде MathCAD запишем мгновенное значение тока одной формулой, используя скачкообразную единичную функцию (функцию Хевисайда) 1(t), которая в MathCAD обозначается как Ф(t):     J(t) : = 0.05·(Ф(t) –  Ф(t–t)).

Изображение тока источника:

J(s) : = J(t) –  .5000е-1·, то есть    J(р) =(1 –  е ^-pt).

Спектральная плотность тока источника может быть получена из изображения тока заменой р на jw:   J(w) := (1 –  е ^–j·w·t). 

Спектральная плотность выходного напряжения находится через комплексное передаточное сопротивление:u2(w) := Z(w)·J(w).

Наконец, с помощью системы MathCAD выполняем вычисление интеграла обратного преобразования Фурье:   u2(t) =·.

Поскольку вычисление несобственных интегралов в системе MathCAD не предусмотрено (ввиду численного решения задаваемого интеграла), то вместо бесконечных пределов возьмём достаточно большие конечные, например, 60000, допуская тем самым не слишком большую ошибку:

u2(t) :=·.

Для любого значения времени можно получить ответ. Например,

u2(0.005) = 17.717      u2(0.01) = 30.386       u2(0.05) = 2.113.

Наконец, напряжение u2(t) в виде графика можно получить, используя встроенную в MathCAD функцию invfourier:

u2(t) :=u2(w)® 31,24·Ф(1.·t) – 31.24·Ф[(-1).·t] – 62.49·e^(-66.67)·t·…

График напряжения u2(t) приведен на рис. 7.116.

ЗАДАЧА 7.81. Решить задачу 7.79 с помощью интеграла Дюамеля, операторным и спектральным методом при условии, что источник вырабатывает одиночный импульс тока, график которого приведен на рис. 7.117,а. Построить график выходного напряжения.

Решение

1. Для решения задачи с использованием интеграла Дюамеля необходимо предварительно определить переходную характеристику (в данном случае – переходное сопротивление), которая по определению является реакцией цепи на единичное скачкообразное воздействие (функцию Хевисайда), операторное изображение которой  1/р. Другими словами, переходная характеристика численно равна выходной величине при включении цепи на единичную входную величину (в данном случае на 1 А). Определим эту переходную характеристику, используя операторное передаточное сопротивление, полученное из комплексного передаточного сопротивления заменой jwна р, путём преобразований Лапласа, которые сделаем с помощью программы MathCAD. В задаче 7.79 получено:

Z(р) ==.

Тогда изображение выходного напряжения    u2(р) := Z(р)·.

Искомая переходная характеристика

g(t) :=u2(р) 1250. – 1250.·e ^(-66.67)·t

Импульс входного тока аналитически описывается двумя формулами:

- на интервале  0 £t£ t₁ = 0,01 с     j1(t) := 0.01 + 4·t;

- на интервале  t₁£ t                         j2(t) := 0.

Искомое напряжение при   0 £ t £ t₁ = 0,01 с:

u21(t) := j1(0)·g(t) +

u21(t)  5000.·t – 75.00 + 75.00·e ^(-66.67)·t.

При   t ³ t₁          u22(t) := j1(0)·g(t) ++ (0 – j1(t1))·g(t – t1)

u22(t)  (-12.50) – 12.50·e ^{(-66.67)·t + .6667} + 75.00·e ^(-66.67)·t.

Ответ записываем в следующем виде:       u2(t) :=  0 if  t < 0

u21(t) if  0 £ t £ t1

u22(t) otherwise

Таким образом, имеем следующий ответ:

u₂(t) =

График напряжения построен на рис. 7.117,б.

2. Выполним расчёт операторным методом.

Аналитическое выражение тока источника, записанное с использованием функции Хевисайда   Ф(t):

j(t) := (0.01 + 4·t)·(Ф(t) – Ф(t – t1)).

Изображение тока источника:

J(s) := j(t) – .5000e-1·+– 4.·.

Изображение выходного напряжения:   u2(р) :=Z(р)·J(р).

Оригинал выходного напряжения:

u2(t) :=u2(р)  62.50·e ^(-66.67)·t – 62.50 – 12.50·Ф(t – .1000е-1)·

·e ^{(-66.67)·t + .6667} + 62.50·Ф(t – .1000е-1) + 5000.·t – 5000.·t·Ф(t – .1000е-1).

График напряжения, построенный по последней формуле, приведен на рис. 7.117,б.

3. Выполним расчёт спектральным методом.

Оригинал и изображение тока источника:

j(t) := (0.01 + 4·t)·(Ф(t) – Ф(t – t1))

J(s) := j(t) – .5000e-1·+– 4.·.

Спектральная плотность тока источника:

J(w) := – .5000e-1·+– 4.·.

Спектральная плотность выходного напряжения находится через комплексное передаточное сопротивление:u2(w) := Z(w)·J(w),  где комплекс-ное передаточное сопротивление    Z(w) :=.