Операторный метод расчёта ПП. Основные теоретические положения, страница 11

ЗАДАЧА 7.76. Определить спектральную плотность следующих сигна-лов:      а)   f(t) =     б)   f(t) =

в)f(t) =

Решение

а). Воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

F(jw) ===е ^-jwt=

=(е^-jw·0,001 – е^+jw·0,001) =·(-j2sin(0,001w)) =sin(0,001w).

б). Так как функция f(t) равна нулю при t < 0, то можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа. Разложим заданный прямоугольный импульс на две ступенчатые составляющие с амплитудами 5 и -5, причём вторая составляющая запаздывает на 10 мс. Их изображения (по Лапласу):

  и   -е ^-р·0,01.

Изображение заданного импульса  F(р) = – е ^-р·0,01 =(1 – е ^-р·0,01).

Спектральную плотность получим, если в ответе заменим р на jw:

F(jw) =(1 – е ^-jw·0,01).

в). Воспользуемся преобразованиями Лапласа, но выполним их с помощью системы MathCAD. Исходная функция, записанная одной формулой с помощью функции Хевисайда  1(t) = Ф(t):

f(t) := (100t² + 1)·(Ф(t) – Ф(t– 0,1)) + (-10t + 4)·(Ф(t– 0,1) – Ф(t– 0,5)).

Изображение функции:

f(t)®+ – 30.· –

– 200.·++ + 10.·

или    F(р) =(1 + е ^-0,1р + е ^-0,5р) +(-3е ^-0,1р + е ^-0,5р) +(1 – е ^-0,1р).

Искомая спектральная плотность

F(jw) =(1 + е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) +(-3е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) +(1 – е ^-0,1jw).

Графики функций и их спектры представлены на рис. 7.106.

ЗАДАЧА 7.77. Определить комплексную передаточную функцию, построить её АЧХ и ФЧХ для цепей рис. 7.107 при следующих числовых значениях:  r₁ = 100 Ом,   r₂ = 200 Ом,   С = 10 мкФ,  L₁= 0,1 Гн,   L₂= 0,02 Гн, М = 0,9= 0,04 Гн. Под каждым рисунком указано, какая величина счи-

тается входной, какая – выходной.

Решение

а). Примем   u₂ = 1. Тогда  i₁ = u₂(r₂^-1+ jwС) =r₂^-1+ jwС;

u₁ = u₂ + r₁i₁ = 1 + r₁(r₂^-1+ jwС).

КПФ по напряжению

Н1(jw) = u₂/u₁ ===.

Графики АЧХ   Н1(w) =|Н1(jw)|  и ФЧХ  Y1(w) = arg(Н1(jw)) представлены на рис. 7.108.

б). По правилу разброса тока в параллельные ветви  i₂ = j.

КПФ по току   Нi(jw) = i₂/j ==.

Графики АЧХ и ФЧХ функции  Нi(jw) аналогичны графикам рис. 7.109.  

Если в качестве выходной величины выступает напряжение u₂, то комплексное передаточное сопротивление

Н2(jw) = u₂/j = jwL₁i₂/ j == Ом.

Графики АЧХ  и ФЧХ функции  Н2(jw)  представлены на рис. 7.109.

в). В этой схеме

i₂ = j      и      u₂ =·i₂ = j.

Комплексное передаточное сопротивление

Н3(jw) = u₂/j == Ом.

Графики АЧХ  и ФЧХ представлены на рис. 7.110.

г). Запишем систему уравнений относительно контурных токов i₁ и i₂:

(r₁+ r₂+ jwL₁+ jwL₂ + j2wM)i₁– (r₂+ jwL₂ + jwM)i₂ = U₁,

-(r₂+ jwL₂ + jwM)i₁ + (r₂ + jwL₂ +)i₂= 0.

Найдём способом подстановки:

i₁ = i₂,

i₂= U₁.

Комплексная передаточная проводимость

Н4(jw) ==

==

= Cм.

Графики АЧХ  и ФЧХ представлены на рис. 7.111.

ЗАДАЧА 7.78. Для указанных ниже цепи (берётся из задачи 7.76) и воздействия (из задачи 7.77) получить спектр и функцию времени выходной величины: 1) цепь а), воздействие а);  2) цепь б), воздействие б); 3) цепь в), воздействие б); 4) цепь в), воздействие в).

Решение

1. Цепь а) обеспечивает КПФ Н1(w) :=, воздействие а) пред-ставлено спектром  U1(w) :=sin(0,001w) В·c. Тогда спектральная плотность выходного напряжения   U2(w) := Н1(w)·U1(w),   U2(w) = В·c.

Оригинал напряжения (функция времени):

u2(t) := U2(w)® -3.334·ехр(-1500.·t – 1.500)·Ф(1.·t + 1.000·10^-3) …

Спектр и временной график выходного напряжения представлены на рис. 7.112.

2. Цепь б) обеспечивает КПФ Н2(w) := Ом, воздействие б) представлено спектром  j(w) :=(1 – е ^–jw·0,01) А·c. Тогда спектральная плот-ность выходного напряжения

U2(w) := Н2(w)·j(w),             U2(w) = В·c.

Оригинал напряжения (функция времени):

u2(t) := U2(w)® 500.2·ехр(-3000.·t)·Ф(1.·t) – 500.2·ехр(-3000.·t + …

Спектр и временной график выходного напряжения представлены на рис. 7.113.

3. Цепь в) обеспечивает КПФ  Н3(w) := Ом, воздей-ствие б) представлено спектром j(w) := (1 – е ^–jw·0,01) А·c. Тогда спектраль-ная плотность выходного напряжения