Операторный метод расчёта ПП. Основные теоретические положения, страница 12

U2(w) := Н3(w)·j(w),             U2(w) = В·c.

Спектр напряжения см. на рис. 7.114.

Оригинал напряжения (функция времени) с помощью функции invfourier не удаётся получить. Поступим другим образом. Применим формулу обратного преобразования Фурье, в которой вместо теоретических бесконечных пределов возьмём достаточно большие числа  ±60000:

u2(t) :=·.

Однако по этой формуле MathCAD не строит график (программа зависает). Сформируем массив из 201 значения функции с временным шагом 0,0001:

dt := 0.0001       q := 0 .. 200      T_q := q·dt        X_q := u2(T_q)

График зависимости X_q(T_q) представлен на рис. 7.114.

4. Цепь в) обеспечивает КПФ  Н3(w) := Ом, воздей-ствие в) представлено спектром

j(w) := (1 + е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) +(-3е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) +(1 – е ^-0,1jw) А·c.

Тогда спектральная плотность выходного напряжения

U2(w) := Н3(w)·j(w).

Спектр напряжения см. на рис. 7.115.

Оригинал напряжения получим способом, описанным в п.3 этой задачи:    u2(t) :=·.

Сформируем массив из 401 значения функции с временным шагом 0,0015:      dt := 0.0015       q := 0 .. 400      T_q:= q·dt        X_q:= u2(T_q)

График зависимости X_q(T_q) представлен на рис. 7.115

Вывод. Спектральный метод является перспективным, позволяет автоматизировать анализ переходных процессов в цепях. Однако его использование предполагает наличие достаточно мощной вычислительной техники. Система MathCAD поддерживает этот метод лишь при решении сравнительно простых задач (цепи не более второго порядка, воздействия, описываемые одной-двумя формулами).

7.5. иСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ (кпф) ПРИ РАСЧЁТЕ пп

ЗАДАЧА 7.79. Рассчитать напряжение u₂(t) (выходная величина) переходного процесса при подключении цепи задачи 5.42 /1/ к источнику постоянного тока (входная величина) J= 0,05 A классическим и операторным методами. Формула для комплексного передаточного сопротивления, полу-ченная при решении задачи 5.42:    Z(jw) == Ом.

Решение

1. При решении задачи классическим методом напряжение u₂(t) ищется в виде суммы принуждённой и свободной составляющих:

u₂(t) = u_2пр(t) + u_2св(t).

Поскольку источник постоянный, принуждённая составляющая также является постоянной и может быть определена через комплексное передаточ-ное сопротивление при частоте  w = 0:

Z(0) === 1250 Ом;     u_2пр = Z(0)·J = 1250·0,05 = 62,5 В.

Комплексное передаточное сопротивление является так называемой системной функцией. Для получения характеристического уравнения нужно в ней заменить jw  на р и знаменатель дроби приравнять к нулю. Получаем:

р + а₀ = 0,      р = -а₀ = -66,67 с ^-1.

При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид:  u_2св(t) = А·е ^рt,   где постоянная интегрирования А находится из начальных условий  –    А = u_2св(0) = u₂(0) – u_2пр(0).

Для получения начального значения напряжения u₂(0) снова используем комплексное передаточное сопротивление, но теперь при частоте, равной бесконечности:  Z(¥) === 0.

Тогда    u₂(0) = Z(¥)·J = 0,  и  А = -u_2пр(0) = -62,5.

Окончательно получаем:u₂(t) = 62,5 – 62,5·е ^-66,67t В.

2. Для расчёта выходного напряжения u₂(t) операторным методом используем операторное передаточное сопротивление Z(р), которое получаем из комплексного передаточного сопротивления заменой jw  на р:

Z(р) ==.

Изображения тока источника и выходного напряжения (используем MathCAD):

J(s) := J,  то есть  J(р) =;  

u2(р) := Z(р)·J(р)      u2(р).

Оригинал искомого напряжения получаем с помощью обратного преобразования Лапласа:

u2(t) :=u2(р)  62.5 – 62.5·е ^(-66,67)·t.

ЗАДАЧА 7.80. Решить задачу 7.79 спектральным методом при условии, что источник вырабатывает одиночный прямоугольный импульс тока амплитудой   J= 0,05 Aи длительностью t= а₀ ^-1 = 0,015 с.

Решение

Мгновенное значение тока воздействия может быть записано аналитически следующим образом:    J(t) : =.