Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых функции одного или нескольких переменных причем в уравнения входят не только функции но и производные.

Если функции одного переменного то такие дифференциальные уравнения – обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной или дифференциала от неизвестной функции.

В общем виде записывается:

 - аргумент

 - функция

 - производная

Функция  может быть определена не на всей области значения своих переменных а на некоторой области .

Решением уравнения называется такая функция определенна на интервале , которая при подстановке  в дает тождество на всем интервале .

Интервал  называется интервалом определения решения и обозначается .

Подставляя   в мы предполагаем что существует , то есть что   непрерывна.

Кроме того необходимо чтобы выполнялось условие .

Решение (интеграл) содержащее число произвольных постоянных равное порядку дифференциального уравнения называется общим решением и имеет вид , где С – произвольные постоянные.

Выбрав некоторое значение С получаем частное решение дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения можно считать найденным если оно представлено в виде выражения содержащее квадратуры, для которых  интеграл может быть выражен в виде элементарных функциях либо подсчитан приблизительно.

Правильность полученного решения проверяется подстановкой.

Дифференциальные уравнения  первого порядка разрешенные относительно производной.

Если дифференциальное уравнение имеет вид

                                                  то оно называется уравнением разрешимым относительно производной.

Если можно записать дифференциал

, то

Геометрический смысл.

Пусть на плоскости  задана функция  - правая часть .  может быть определена не на всей плоскости, а на области Г(открытое множество).

Пусть и  - непрерывные функции заданные на Г.

Решение  представимо в виде некоторой кривой.

Общее решение известно с точностью до константы С, то есть все возможные частные решения образуют семейство кривых.

 - интегральная кривая дифференциального уравнения .

Уравнение устанавливает зависимость между   и угловым коэффициентом касательной к графику решения в этой точке. Зная  мы можем вычислить  и решить . Дифференциальное уравнение определяет поле направлений.  Тогда задачей интегрирования дифференциального уравнения будет определение интегральных кривых направление касательных  к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.

Пример

В каждой  точке кроме (0,0) угловой коэффициент касательной к искомой кривой  равен отношению  т.е он совпадает с угловым коэффициентом кривой направленным из начала координат в точку . Для такого поля направлений интегральные кривые будут иметь вид .

Уравнения с разделяемыми переменными.

                                             уравнение с разделяемыми переменными. Функции Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. предполагаются непрерывными.

Пусть  - решение т.е. подставляя  в получим тожество, проинтегрировав которое мы получим  соотношение определяющее решение

Соотношению будет удовлетворять каждое решение , в свою очередь интегральное соотношение будет удовлетворять дифференциальному уравнению .  определяющая  называется общим интегралом данного уравнения. Получить частное решение можно,  задав значение .

Уравнения с разделяющимися коэффициентами.

- уравнение такого вида, в котором коэффициенты перед дифференциалом распадаются на функции зависящие от различных переменных называются уравнениями с разделяющимися коэффициентами.

Разделим обе части этого уравнения на  получим:

 - уравнения с разделенными коэффициентами.

Деление на  может привести к потере решений. (Не забывать выписывать частные решения). Если  разрывные то появятся лишние решения, которые обращают в ноль дробь .

Уравнения приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

1)

Уравнение такого типа решается заменой:  

 т.е. .

Уравнение называется однородным если функция  однородна относительно  если при замене  на  мы получим . k – степень однородности.

2) Уравнения приводящиеся к однородным.

Для решение данного уравнения необходимо преобразовать это уравнения путем переноса начала координат в точку пересечения кривых.

=>  

,

 =>   

Если исходные прямые параллельны, то исходное уравнение можно переписать:

3) Линейное уравнение первого порядка.

- непрерывные функции. Если  то уравнение  называется однородным линейным уравнением.

Для решения уравнения необходимо решить соответствующее ему однородное уравнение.

Получив решение однородного уравнения, воспользуемся методом вариации постоянных. Пусть, тогда  (*). Подставим (*) в :

   =>

В общем виде решение будет иметь вид:

4) Уравнение Бернулли.

 Сделаем замену:  

5)Уравнение Риккати