Дифференциальные уравнения первого порядка, страница 13

Краевые задачи определяют поведение функции и (или) ее производных на границе области. К краевым задачам относится задача о стационарном распространении тепла в стержне, на концах может быть задана постоянная температура, тогда эта задача будет иметь вид:

,      

где , , .

  

  , где  - заданные числа, одновременно не равные 0.

Если в 3 , то получим краевые условия первого рода или условия Дирихле.

Если в 3 , то получим краевые условия второго рода или условия Неймана.

Если в 3 , то краевые условия третьего рода или смешанные краевые условия.

Однородной краевой задачей называется задача 2, 3 при , .

Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение, но может существовать и нетривиальное решение. Частным случаем однородной краевой задачи является задача на собственные значения. Она состоит в определении значений параметров, входящих в ДУ при которых существует нетривиальное решение однородных задач:

  , где L – линейный диф. оператор, например из 2.  - заданная функция (непрерывная и интегрируемая на ),  - заданные числа.

Значения параметра , при котором задача 4 имеет нетривиальное решение, называется собственными значениями, а соотв. им нетривиальные решения – собственными функциями данной краевой задачи.

Задача 4 – это и есть задача Штурма-Лиувилля.

Собственные значения 4 обладают свойствами:

  1. Существует бесконечное счетное  и соотв. им , при этом все собственные значения можно упорядочить в порядке их абсолютной величины, т.е. .
  2. Каждому собственному значению соответствует с точностью до const одна собственная функция. Ранг собственного значения равен 1.
  3. Для краевой задачи Дирихле при выполнении условий  и для первых краевых условий  все собственные значения краевой задачи положительны.

Теорема о разложимости Стеклова.

Если функция  дважды непрерывно дифференцируема, т.е.  на , и удовлетворяет соотв. однородным краевым условиям 4, то ее можно представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда на  по собственным функциям  задачи 4, т.е.

Пример:

 

Решение краевой задачи с помощью функции Грина.

Пусть дано    с однородными краевыми условиями     и и . И пусть данная краевая задача имеет единственное решение. Рассмотрим однородное уравнение .         

Пусть - решение однородного уравнения 3, удовлетворяющее краевому условию 2.1. А решение  удовлетворяет 3 и краевому условию 2.2. Тогда по построению  не должно удовлетворять 2.2, а не должно удовлетворять 2.1. Если бы было не так, то  и были бы зависимы, что нас не интересует, и противоречило бы предположению о единственности решения (т.к.  является решением 2,3 и их было бы бесконечно много).

   

Решения  и  линейно независимы. Можем искать решение неоднородной задачи методом вариации постоянных: .  

 и должны удовлетворять условию .

Из-за линейной независимости ;

   и 

 и .

Подставим  и  в соотношение 5. Получим

Подставим 8 в краевое условие 2. Получим

. При этом  удовлетворяет 2.1.

После приведения подобных, получим . С учетом того, что  и  , то 8 можно переписать в виде . 

   , где  

Функция  называется функцией Грина для краевой задачи 1,2. И если функция Грина построена, то решение краевой задачи 1,2 определяется формулой 10. Сама функция Грина строится только по линейно независимым решениям  и , и от правой части  не зависит. При фиксированном  функция Грина обладает следующими свойствами:

  1. При  функция Грина удовлетворяет однородному уравнению 3.
  2. При  и  функция Грина удовлетворяет краевым условиям 2.1 и 2.2.
  3. При  функция Грина непрерывна.
  4. При   претерпевает единичный скачок, т.е.  (функция Грина – отклик системы на единичное возмущение).

Пример:

 

  

Скачать файл