Дифференциальные уравнения первого порядка, страница 8

Перепишем в виде

                              

С помощью замены переменных  можно свести процесс поиска решения в окрестности к поиску решения в окрестности точки . В дальнейшем будем рассматривать решение в точке .

                                           

При подстановке в получим соотношения  для . Первые 1 или 2 соотношения позволяют вычислить  и называются определяющими.

Теорема Фукса:

Пусть дано диф. уравнение такое, что функции  и  имеют полюсы (точка, в которой функция терпит разрыв) в точке . Тогда решение можно искать в виде при условии, что будут конечны произведения ,

Пусть дано и функции  и  условиям теоремы Фукса:

Подставим (5) в (4):

(*)

Сомнения насчет формулы.         

Минимальная степень в (*) это , коэффициенты при  имеют вид:

Получим квадратное уравнение, позволяющее определить корни ν₁ и ν₂:

Определим рекуррентные соотношения для коэффициентов а_n:

…

Из определенного соотношения мы находим  и  :

1. ,  – корни различны и их разность не равна целому числу. Можно вычислить два степенных ряда соответствующих  и  .
2. ,   – находится одно линейно независимое решение, а второе можно определить, воспользовавшись приемом. Пусть известно одно линейно независимое решение, подставив  и  в (4) и исключив из него функцию  получим:

  На счет этой формулы тоже сомнения.

3. ,  – для одного ряда можно определить всю последовательность коэффициентов

Для ряда, соответствующего  количество коэффициентов обрывается на n. Т.е. можно записать , а для  получим соотношение , где . Остается линейная комбинация, связывающая коэффициенты , она должна быть равна нулю. Если это выполняется, то можно выбрать коэффициенты  и получить второе решение уравнения в виде бесконечного ряда с точностью до двух произвольных параметров  и . Если не выполняется равенство нулю линейной комбинации, то можно получить только конечный кусочек ряда с коэффициентами  для второго решения, т.е. данный метод не позволяет получить  два частных решения диф. уравнения.

Уравнение Бесселя.

                                     

 – произвольное действительное число. Иногда  – комплексное число, но действительная часть должна быть не отрицательна.

Для уравнения Бесселя выполняются условия теоремы Фукса, значит решение можно искать в виде обобщенно степенного ряда. Если действовать аналогично гипергеометрическому ряду, то определяющее соотношение имеет вид:

 

Рекуррентное соотношение имеет для коэффициентов вид:

                                     

Если рассмотреть минимальную нечетную степень х, то получим соотношение:

Если разрешить это уравнение, то все нечетные коэффициенты ряда будут нулевыми и остаются только четные коэффициенты ряда, которые вычисляются по второму соотношению:

                      

Воспользуемся свойством Г функции и перепишем , учитывая :

                                             

             

Соотношение определяет коэффициенты обобщенно степенного ряда, которое будет решением уравнения Бесселя при . Если , то можно определить  формулой:

                                 

Степенной ряд с коэффициентами и для  называется функцией Бесселя первого рода порядка  и имеет вид:

                       

                      

Соотношение определяет функцию Бесселя только для дробных значений , поскольку при целых отрицательных μ коэффициенты этого ряда не существуют. Т.к. сама функция Бесселя непрерывна, то можно построить ее продолжение при , где  целое, только это решение будет линейно зависимым с решением . В этом случае получается одно линейно независимое решение. Для определения второго линейно независимого решения используют функцию Бесселя второго рода.

Периодические решения дифференциальных уравнений.

Пусть дано диф. уравнение n-го порядка: