Дифференциальные уравнения первого порядка, страница 11

 . Если исследуем знак производной  ? , то знак будет определяться следующим образом: знак  совпадает со знаком .

 

- в нем   - известная функция, значит известен ее знак. Значит можно определить знак производной  (*).

Если (*)  , то сама функция  убывающая для всех  . Все точки всех траекторий не будут удаляться от (0,0) с ростом t. Значит тривиальное решение – устойчивая т.п.

Но т.п. может быть устойчивой и даже асимптотически устойчивой и при немонотонном приближении к ней т. траекторий с ростом t. Поэтому вместо функции  или  Ляпунов предложил рассматривать функцию  или  , которая в некотором смысле является обобщенным расстоянием от т. траектории до начала координат. Основные свойства функции V и  совпадают: если V мало, то и  мало. V – функция Ляпунова.

Пусть дана НСДУ

                                                 

                                                  

- начальные условия. Пусть   - решение системы – невозмущенное движение, устойчивость которого нужно исследовать в некоторой Н-окрестности этого решения ( т.е. ).

Положим,

                                             

 – отклонение решения  от решения .

                                                

И  удовлетворяет системе . Здесь   и значит при , . Значит система имеет тривиальное решение , которое соответствует решению . Систему называют возмущенной системой по Ляпунову. Исследование на устойчивость системы эквивалентно исследованию на устойчивость системы тривиального решения.

О. Действительная непрерывная скалярная функция  называется знакопостоянной в области D, если  при .

О. Функция  называется положительно определенной в области D, если существует такая скалярная функция , что

                              

О. функция  называется отрицательно определенной в области D, если существует скалярная функция :

????

Замечание. В качестве функции  выбирают .

Пусть  положительно определенная функция, удовлетворяющая условию(5) и существует соответствующая  И пусть поверхности уровня ф-ии  в пространстве  представляют собой семейство непрерывных замкнутых поверхностей, включающих начало координат и расширяющихся. Тогда каждая поверхность уровня функции  будет содержаться для любых  внутри поверхности уровня .

Первая Т Ляпунова об устойчивости.

Пусть функция  (правая часть системы ) непрерывна по t и дифференцируема по х. Рассмотрим область . Система допускает тривиальное решение . Положим V=V(t,x) некоторую функция непрерывно дифференцируемую по t и по х, и определенную на области . тогда

                         называется полной производной  по  в силу системы или субстанциальной производной.

Если для возмущенной системы существует положительно определенная скалярная функция , удовлетворяющая условиям , для которых , тогда тривиальное решение  системы устойчиво по Ляпунову при.

Док-во: По условию Т существует   и для V выполняются . В пространстве  рассмотрим сферу радиусом   . Эта сфера – компакт (ограниченное замкнутое множество) и значит на компакте  непрерывна и положительна и по Т Вейерштрасса она будет достигать inf и sup. Обозначим   и значит

                                         

Пусть  - это некоторое значение аргумента t из . функция  непрерывна по х. причем , значит существует окрестность , где  : функция  и  (*).рассмотрим любое нетривиальное решение х(t) с начальными условиями . докажем, что траектория целиком находится внутри сферы , т.е.

                                                    при t меняющимся от 0 до .

При  по условию . И пусть неравенство  выполняется не для всех t . пусть некоторая т.  - первая т. для которой неравенство  не выполняется, т.е.  и . рассмотрим функцию V(t)=V(t,x(t)). Исследуя поведение этой функции вдоль решения х(t), т.е. . функция V(t)  невозрастающая, значит учитывая формулу (*) и , мы получили  по построению. Эта цепочка невозможна. Значит решение x(t) на интервале  остается внутри сферы   и т.к. по условию , то это решение х(t) бесконечно продолжаемо вправо, причем выполняется соотношение , если  . а это и означает устойчивость по Ляпунову тривиального решения  при .