Дифференциальные уравнения первого порядка, страница 12

Следствие 1. При выполнении первой Т Ляпунова все решения x(t) системы (1) с достаточно малыми по норме начальными значениями , где  бесконечно продолжаемы вправо и ограничены на полуоси  .

Следствие 2. Если для ЛОСДУ  , где  , существует положительно определенная функция V(t,x), для которой полная производная  , тогда все решения x(t) этой системы определены и ограничены на полуоси  .

Вторая Т Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Пусть для системы (4)  существует положительно определенная функция  , которая допускает бесконечно малый предел при   и полная производная которой в силу системы (4) отрицательна  . тогда тривиальное решение * будет асимптотически устойчивым по Ляпунову при  .

Следствие 1. условие Т2 Ляпунова  тривиального решения принадлежит области притяжения тривиального решения  .

Следствие 2. Если для ЛОС  существует положительно определенная функция V(t,x), которая удовлетворяет условию Т2 Ляпунова, то каждое решение этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Третья Т Ляпунова о неустойчивости.

Пусть для системы существует такая функция V(t,x) непрерывно дифференцируемая по t и по х, допускающая бесконечно малый верхний предел при  и обладающая знакопостоянной субстанциальной производной. Если при некотором  (a - начальная т. области D) в любой -окрестности .    ?      найдется т.  , для которой знак функции V совпадает со знаком полной производной  , то тривиальное решение  будет неустойчивым по Ляпунову при  .

Замечание 1. В Т3 функция  не обязательно является знакопеременной.

Замечание 2. Функции , удовлетворяющие Т1, Т2, Т3, называются соответственно функциями Ляпунова первого, второго, третьего рода.

Следствие. Если для системы (приведенная) существует функция Ляпунова 1, 2, 3-его рода, то тривиальное решение устойчиво, асимптотически устойчиво, или неустойчиво по Ляпунову при  .

Замечание. При формулировке Т3 предполагается, что полная производная в силу системы  знакоположительна в некоторой окрестности начала координат. Но для док-ва неустойчивости тривиального решения системы достаточно обнаружить существование хотя бы одно траектории, исходящей из любой сколь угодно малой окрестности начала координат и выходящей за пределы фиксированной окрестности. Т.е нет необходимости рассматривать полную окрестность (0,0) и условие Т Ляпунова можно ослабить.

Т Четаева.

Пусть дана система в области D  . В ней существует непрерывно дифференцируемая функция V(t,x), область положительности которой  имеет ненулевое открытое сечение  , примыкающее к началу координат  . Причем на части границы области П, лежащей внутри цилиндра D, включающая ось t, выполняется равенство , тогда если

1. функция  ограничена в области П

2. имеет в этой области положительную полную производную

3. в каждой подобласти  справедливо неравенство  , где  - некоторая величина, зависящая от , то тогда тривиальное решение системы неустойчиво по Ляпунову при * .

Исследование на устойчивость по первому приближению.

Пусть есть

                                                  нормальная система ДУ. И пусть правая часть  удовлетворяет условиям Т о существовании и единственности, может быть представлена в виде

                                       

A(t) – матрица, F(t,x) удовлетворяет условиям  . ЛОСДУ  называется первым приближением или линеаризацией соответствующей нормальной системы ДУ. Согласно предположению F(t,0)=0

  - соответствующие вектора

  - компоненты вектора х.

Если A(t)=const (A(t)=A), то тогда исследование на устойчивость можно проводить, пользуясь Т об устойчивости системы ДУ с постоянной матрицей ().

Краевые задачи

Задача на собственные значения или задача Штурма-Лиувилля.