Дифференциальные уравнения первого порядка, страница 4

Система линейных ДУ, сопряженная к будет иметь вид

                                               

Нормальная фундаментальная система решений для : .

Это означает, что

                                        

Нормальные фундаментальные системы решений прямой и сопряженной задачи взаимно ортогональны.

Будем искать решение линейной системы ДУ в виде

                                          

– неизвестные функции, - нормальная фундаментальная система решений . Подставим в , получим . Поскольку  - решение фундаментальной системы Þ .

                                          

Помножим (6) скалярно на функцию   

,

 ,

,

Подставив  в , получим

                               

Замечание: метод Коши применяется только в том случае, когда можно построить две взаимно ортогональные нормальные системы фундаментальных решений.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

                                                   

A – матрица с постоянными коэффициентами.

                                               

Решение системы будем искать в виде ,a - вектор,l-скаляр.

Подставим решение в систему .

,

, -собственные значения матрицы A, -собственные векторы матрицы A.

Вид решения будет зависеть от l.

1)  Все собственные значения A действительны и различны. Это означает, что любое частное решение системы будет иметь вид:

,

            И следовательно общее решение однородной системы (1) будет иметь вид:

                       

Воспользуемся теоремой линейной алгеброй о представлении матрицы A в следующем виде, при условии, что все ее собственные значения действительны и различны.

,   

            Подставим это представление в систему :

            ,

           

                мы получили n уравнений с разделяющими переменными.

            Решением этих уравнений будет

           

2)  Одно из собственных значений A комплексное. Поскольку матрица A изначально была вещественна – это означает, что  сопряженное и . Общее решение будет иметь вид аналогичный . Поскольку исходный оператор был вещественнозначный, то и общее решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации частных вещественных реешний.

Теорема:

Если оператор  вещественный, а  и  функции принимающие вещественные значения, такие что  есть решение , тогда   и  тоже будут решениями этого однородного уравнения.

3)  Собственное значение имеют кратность g. В этом случае для матрицы A строится ЖНФ и общее решение (1) имеет вид:

, l - собственное значение.

Вид решения выводится так же, как для системы когда матрица A имеет все действительные корни.

Матричное дифференцирование уравнения

Пусть дано матричное дифференциальное уравнение

                                                

где

                             

                                                  

- начальное условие

Теорема:

Если матрица  непрерывна на отрезке , а , то на отрезке   единственное решение уравнения определитель Вронского этой матрицы не равен 0 для любой точки .

Одновременно с системой будем рассматривать сопряженную систему

                                             

Теорема:

Пусть  - решение системы , матрица  непрерывна на , тогда   на  и является решением системы .

Рассмотрим систему неоднородных дифференциальных уравнений

                                        

Будем искать решение в виде вариации постоянных

                                             

- решение системы ,  - решение системы ,  – неизвестный вектор функций.

Подставим в

                         

                                    

тогда общее решение примет вид

Общее решение неоднородной системы может быть представлено в виде:

                               

 -  общее решение системы

Замечание:

Пусть матрица A – постоянна, а начальное условие имеет вид . Покажем, что решение системы