Дифференциальные уравнения первого порядка, страница 3

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ)

Система вида называются системой обыкновенных ДУ. Также как для ДУ, для системы ДУ можно сформулировать теорему о существовании и единственности.

Теорема: Если функции f_i определены и непрерывны на открытом множестве Г, а j,i=1,n тоже непрерывны на множестве Г, тогда имеет решение , i=1,n, а при наличие начальных условий,

это решение будет единственным.

В векторной форме можно записать:

Системы линейных ДУ

Система ДУ называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Если заданы начальные условия

то решение будет единственно.

Введем линейный оператор . Тогда можно переписать в виде

Если , то , то система уравнений называется однородной.

Поскольку оператор линейный:

1. – решение однородной системы , то , , - решение уравнения . Т.е. .

2. – решения , то тоже решение .

- решение при условии, что – решение .

Пусть – решения и они линейно независимы. Любая Û Þ что определитель состоит из решений

¹0

Этот определитель называется определителем Вронского для системы решений .

Теорема 1: Если определитель Вронского для с непрерывными на отрезке коэффициентами матрицы равен 0 хотя бы в одной точке , то решения будут линейно зависимыми на этом отрезке, и, следовательно, определитель Вронского равен нулю на всем отрезке .

Совокупность решений однородной системы называется фундаментальной системой на , если для этой системы .

Если для заданы начальные условия , – единичная матрица, то система решений называется нормальной фундаментальной системой решений.

Замечание: если – фундаментальная система решений, то линейная комбинация - тоже общее решение .

Теорема 2: - линейная комбинация n линейно независимых решений системы с непрерывными на отрезке коэффициентами матрицы будет общим решением системы на этом отрезке.

Теорема 3: Если - решение , а - решение , то + тоже будет решением системы .

Теорема 4: Общее решение неоднородной системы на с непрерывными на отрезке коэффициентами матрицы и правыми частями равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы .

Теорема 5 (принцип суперпозиции): Решение системы ДУ вида может быть представлено в виде суммы m решений , каждое из которых удовлетворяет соответствующему неоднородному уравнению .

Замечание: принцип суперпозиции можно распространить и при . В этом случае решением будет ряд, составленный из и такое представление возможно, если ряд сходится и допускает почленное дифференцирование.

Метод вариации постоянных

Пусть – это общее решение однородной системы , тогда будем искать решение неоднородной системы где – неизвестные скалярные функции. Подставим в уравнение :

Это векторное уравнение всегда разрешимо, т.к. – это система фундаментальных решений однородной системы . Определитель . И разрешая эту систему, получим , .