Заметим, что адекватность модели может быть проверена лишь в случае, когда число точек плана эксперимента больше числа оцениваемых параметров. Минимальному числу точек N=k+1, которое уже не позволяет проверить адекватность модели, соответствует так называемый насыщенный план.
Условия проведения опытов могут свободно выбираться в пределах заданных границ. Выбор соответствующего плана эксперимента позволяет обеспечить ММ различные свойства. Наиболее распространенными являются следующие критерии.
- Критерий ортогональности – когда получаемые оценки коэффициентов регрессионного уравнения некоррелированы (несмешаны). Применяется для упрощения вычислений, т.к. замена нулем любого коэффициента в ММ в этом случае не изменяет значений остальных коэффициентов. Обычно используется для отбора факторов, существенно влияющих на выходную величину.
- Критерий рототабельности – когда дисперсия выходной переменной зависит только от расстояния от центра плана. Этот критерий используется при требовании равнозначности (в смысле погрешности оценки исследуемого параметра) всех направлений от центра плана.
- Критерий А-оптимальности требует выбора такого плана, при котором матрица С имеет минимальный след (минимальная сумма диагональных элементов). По смыслу это минимизация средней дисперсии оценок коэффициентов модели.
- Критерий D-оптимальности требует минимизации определителя матрицы С (минимизируется объем эллипсоида рассеяния).
- Критерий G-оптимальности требует достижения наименьшей величины максимальной дисперсии зависимой переменной.
Заметим, что критерии ортогональности и рототабельности обеспечивают ряд удобных и полезных свойств оценок коэффициентов, но никак не связаны с требованиями максимальной точности построения ММ. Критерии А- и D- оптимальности требуют максимальной точности нахождения коэффициентов регрессии, в отличие от них G-критерий требует максимальной точности оценки зависимой переменной.
Все приведенные критерии предполагают, что вид модели известен. Если это не так, эксперимент вначале планируется, исходя из предположения о линейности модели относительно факторов. Проверяется адекватность полученной ММ, если линейная модель неадекватна – строят квадратичную. Для этого снова планируют эксперимент (желательно, чтобы он включал точки плана для линейной модели). Если вид модели неизвестен, то, как правило, для исследователя, более важна возможность проверки адекватности модели, чем точность оценки ее параметров.
В настоящих методических указаниях рассмотрена методика построения и свойства факторных планов для квадратичных моделей вида
(1.15)
Заметим, что для возможности оценивания коэффициентов bii при xi2 в уравнении (1.15) независимая переменная xi должна принимать, по крайней мере, три различных значения.
Факторный план для квадратичной модели может быть получен добавлением некоторого количества точек к “ядру” типа 2n или 2n-p факторного плана линейной модели. Если добавить точку в центре плана и 2n так называемых “звездных” точек с координатами (± α, 0, … , 0), (0, ± α, … , 0), … , (0, 0, … , ± α), то получим центральный композиционный план (ЦКП). Геометрическая интерпретация ЦКП при n = 2 и n = 3 приведена на рис 1.2.
а б
Рис. 1.2.
Выбором величины плеча α можно обеспечить различные свойства плана. В последующих разделах рассмотрено построение ортогональных и рототабельных ЦКП.
2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ
В ортогональных ЦКП плечо α выбирают из условия обеспечения независимости (несмещенности) оценок коэффициентов регрессии. В центре плана обычно берут одну точку, тогда общее число точек плана 2n-p + 2n + 1
Для удобства расчетов и анализа результатов переходят к нормированному масштабу (масштабы факторов выбирают так, чтобы значение верхнего уровня в ядре плана соответствовало + 1 , а нижнего- 1) . Тогда для i -го фактора
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.