Решение задач из экзаменационных билетов № 1-25 по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"

Билет№1

Задача № 1. Игральная кость бросается 1 раз. Найти вероятность следующих событий:

А₁= {четное число очков}

А₂= {не менее 5 очков}

А ₃= {не более 5 очков}

Задача № 2. Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью в виде

 

0 при x<a  и  x>b

f(x)=       K(x-a) при  a<x <

-K(x-b) при  <x <b

Задача № 3. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно внутри прямоугольника D={(x,y): -1x2, 1y2} Описать и исследовать её и оценить P{(x,y): -1<x0, 1y2}.

Решение:

Задача 1)

Ω={1,2,3,4,5,6};

Задача 2)

tgα=K ; 

Закон распределения:

 (рис2)

 

Задача 3)  

              C, xєD      ;                      1/3, xєD;

f(x,y)=   0, в др.сл. ;                  ; f(x)=    0, в др.сл. ;

;

; ; ; ; ;

Билет№2

Задача № 1.  Партия содержит N изделий, среди них n дефектных. Для контроля из такой партии выбираем r изделий. Заданны события:

A={среди отобранных равно S дефектных};

B={среди отобранных хотя бы одна  дефектна};

Найти P(A) и P(B).

Задача № 2. На заводе изготавливаются однотипные изделия, причем первая линия производит 30%, вторая -35% и третья -35% всех изделий. Брак в их выпусках составляет соответственно 3%, 4% и 2%. Случайно выбирают изделия на контроль. Какова вероятность, что оно окажется достоверным?

Задача № 3.  Система случайных величин (x,y) распределена с постоянной с постоянной плотностью внутри квадрата R со стороной равной 5. причем стороны составляют углы 45’ с осями координат. Необходимо описать систему (x,y), исследовать ее и построить все необходимые графики для функциональных зависимостей.

Решение:

Задача 1)

N-всего; n-дефект; r-выбираем; A – среди отобранных = S дефект; B – среди отобранных ≥ 1 дефект;

; 

где - вероятность дефекта, а - вероятность нет дефекта.

Задача 2)

всего 9 изделий из 100 бракованных

А={деталь стандартная}, H₁={изделие с 1 линии}, H₂={изделие с 2 линии}, H₃={изделие с 3 линии}.

P(A|H₁) – вероятность того что деталь стандартна при том что она принадлежит 1 линии, 97% станд. Из 30% деталей.     

следовательно в 97% изделие окажется стандартным.

Задание 3)

 

Билет №  3

Задача № 1.   В урне а белых шаров, в черных(а2, в3). Из урны вынимают наугад 5 шаров. Заданы события:

A={ среди отобранных равно 2 белых и 3 черных шаров};

B={ среди отобранных хотя бы один шар белый};

Найти P(A) и P(B).

Задача № 2.   Рассматриваются 2 партии деталей. В первой содержится N стандартных и n дефектных, а во втором все M детали стандартные. Из первой партии наугад извлекают К деталей, а из второй L. Делают смесь из К+L деталей. Из смеси извлекают одну деталь.  Найти вероятность того, что деталь окажется стандартной.

Задача № 3.  В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из неё наугад извлекают 2 шара без возвращения. Рассматриваются случайные величины:

X={  число белых шаров в выборке};

Y={  число черных шаров в выборке};

Необходимо рассмотрим X и Y как систему  (x,y), описать и исследовать её.

Решение:

Задача 1)

a)  n=C5a+b=(a+b)*(a+b-1)*(a+b-2)*(a+b-3)*(a+b-4) / 5!       m=C2aC3b=a*(a-1)*b*(b-1)*(b-2) / 2!*3!

P(A)=m/n=10*a*(a-1)*b*(b-1)*(b-2) / (a+b)*(a+b-1)*(a+b-2)*(a+b-3)*(a+b-4)   b) m=C0aC5b=b*(b-1)*(b-2)*(b-3)*(b-4) / 5!       P(B)=m/n=b*(b-1)*(b-2)*(b-3)*(b-4) / (a+b)*(a+b-1)*(a+b-2)*(a+b-3)*(a+b-4)

Задача 2)

Гипотезы: H1-изделие в 1 партии, H2-изделие во 2 партии.

P(H1)=K / (K+L), P(H2)=L / (K+L)

P(A)=K*N / (K+L)*(N+n) + L*M / (K+L)*M

Задача 3)

Возможные случаи ={Ч,Ч}{Б,Ч}{Ч,Б}{Б,Б}

Y\X	Ч(0)	Б(1)	Σy
Ч(1)	15/91	24/91	39/91
Б(0)	24/91	28/91	52/91
Σx	39/93	52/91	1

P(Ч,Ч)=6/14 * 5/13=15/91

P(Б,Ч)=8/14 * 6/13=24/91

P(Ч,Б)=6/14 * 8/13=24/91

P(Б,Б)=8/14 * 7/13=28/91

Mx=1*8/14+0*6/14=8/14

My=1*6/14+0*8/14=6/14

Dx=(0-8/14)2 * 6/14 + (1-8/14)2 * 8/14=84/343=48/196

Dx=8/14 – (8/14)2=48/196

Dy=(1-6/14)2 * 6/14 + (0-6/14)2 * 8/14 = 84/343=48/196

Dy=6/14 – (6/14)2=48/196

Kxy=ΣΣ(xi-Mx)(yi-My)=(0-8/14)*(1-6/14)*15/91 + (1-8/14)*(1-6/14)*24/91 + (0-8/14)*(0-6/14)*24/91 + (1-8/14)*(0-6/14)*28/91=84/4459

Гxy=84/4459 * 196/48=1/13

Билет № 4

Задача № 1.   В семье двое детей. Порядок записи пар имеет значение и соответствует старшинству. Найти вероятность следующих событий:

А1= {в семье двое мальчиков, при условии, что старший ребенок сын}

А2= { в семье двое мальчиков, при условии, что по крайней мере один сын }

А 3= {в семье хотя бы одна девочка}

Задача № 2.   Прибор работает в 2-х режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1 ,в ненормальном режиме 0,7. Какова вероятность выхода прибора из строя за время t.