Метод производящих функций в исследовании случайных величин

Метод производящих функций в исследовании случайных величин

Пусть имеется ДСВ, принимающая неотрицательные целочисленные значения 0,1,2,…,k,… с вероятностью p₀, p₁, …, p_k, …, где p_k=p{x=k}.

Определение. Производящей функцией для ДСВ называют функцию вида:

,      (*)

где z - произвольный параметр ().

Коэффициент при z^k в ней равен вероятности того, что ДСВ примет значение .

Ясно, что при z=1

         - это условие полноты.

Замечание. При конечных значениях ДСВ x (*) сохраняет силу.

Возьмем первую производную по z от  (*)

Положим z = 1. Имеем

Известно, что это математическое ожидание ДСВ, отсюда

.    Так можно найти математическое ожидание!!!

Возьмем вторую производную по z от (*). Имеем

Полагая здесь z=1, получим

Отсюда

Можно показать, что

Это позволяет выразить начальные моменты более высокого уровня через моменты более низкого уровня!!!

Рассмотрим конкретные законы ДСВ

1) Для биномиального распределения производящая функция имеет вид:

- n-ая степень бинома, где q=(1-p)

Тогда

Найдем производную по z

при z=1, получим

И мы уже знаем, что 2-й начальный момент можно найти как

.

Отсюда

.

Тогда

.

Для дисперсии имеем

Замечание. Для обобщенного биномиального распределения, то есть когда  и т.д.

.

Перемножая биномы и приводя подобные члены с одинаковыми степенями z мы действительно получим

 и ,

2) Для распределения Пуассона имеем

, m=0,1,2,…

Отсюда для производящей функции

, где

Поэтому

Для

При z=1 получим

Для второй производной имеем

 и

Отсюда, для  получим

, а для D_x найдем

То есть, только в Пуассоновском распределении

- это замечательное свойство этого распределения.

3) Для геометрического распределения с "0" имеем

              (q=1-p) – это число "безуспешных" попыток или до первого появления "успеха" с вероятностью p.

Здесь и имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем qz, а ее сумма равна

Тогда

Отсюда , но  и тогда

Для дисперсии получим

Для геометрического распределения с "1"

   , так как это ДСВ вида x+1

и можно найти значения с использованием свойств математического ожидания и дисперсии