Математика \ Теория вероятностей и математическая статистика

Решение задач из экзаменационных билетов № 1-25 по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 7

Р(А) = Р(дефекта нет, и он не обнаружен) + Р(дефект есть, но он не обнаружен)

дефекта нет, и он не обнаружен: обратное событие: дефект есть, и он обнаружен: (Р₁*Р₂)ⁿ

дефекта нет, и он не обнаружен: (1-Р₁*Р₂)ⁿ

дефект есть, но не обнаружен: Р* (1-Р₂)ⁿ

Р(А) = (1-Р₁*Р₂)ⁿ + Р* (1-Р₂)ⁿ

Задача № 2.

Р = *0,9 + *0,85 = 0,6 + 0,283 = 0,883

Задача № 3.

x={число белых}; y={число белых}; ;

;

0, x≤0 0, x≤0

F(x)= 2/21, 0<x≤1 ; F(y)= 9/21, 0<x≤1 ;

12/21, 1<x≤2 19/21, 1<x≤2

1, x>2 1, x>2

;

, следовательно зависимы;

Билет №16

Задача № 1. Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появится с вероятностью Р. Найти вероятность того, что вероятность событие А появится хотя бы один раз.

Задача № 2. Имеются две урны : в первой а белых шаров и в чёрных; во второй с и d соответственно. Из первой урны во вторую перекладывают 3 шара. (а3, в3) Наугад из второй извлекают один шар. Какова вероятность, что он будет белым?

Задача № 3. Координаты X иY случайной точки распределенное равномерно внутри прямоугольника с абциcсами x=1, x=3 и ординатами y=1 ,y=4. Рассмотрим X и Y, как систему (x,y), описать и исследовать её. Найти вероятность появления случайной точки (x,y) в области R, где R={(x,y)| (x2, y3)}. Построить необходимые графики.

Решение

Задача № 1.

А₁ = {событие А появится хотя бы один раз}

= {ни одного раза не появится}

Р₁() = (1-Р)ⁿ

Р₁(А₁) = 1 - (1-Р)ⁿ

Задача № 2.

А = {вытянутый из 2-ой урны шар белый}

Н₁ = {вытянутый из 2-й урны шар принадлежит 1-ой урне}

Н₂ = {вытянутый из 2-й урны шар принадлежит 2-ой урне}

Так как во второй урне три шара принадлежат первой урне, то:

Р(Н₁) =

Р(Н₂) =

Вероятность появления белого шара из 2-ой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из 1-ой урны или после перекладывания во вторую, поэтому:

Р(А) =

Р(А) = * + *

Задача № 3.

f(x,y)=C, (x,y)D

0, в ост. случаях

Площадь прямоугольника равна 6, поэтому С =

; С =

f(x,y)= , (x,y)D

0, в ост. случаях

F(x,y) = =

F(x,y)=, (x,y)D

0, в ост. случаях

f₁(x)=, x(1,3)

0, x<1x>3

f₂(y)=, y(1,4)

0, y<1y>4

F₁(x) =

F₁(x)=, (x,y)D

0, в ост. случаях

F₂(y) =

F₂(y)=, (x,y)D

0, в ост. случаях

f₁(x) = , (x,y)D

0, в ост. случаях

f₂(y) = , (x,y)D

0, в ост. случаях

Зависимость/независимость:

f(x,y) = f₁(x)*f₂(y); , следовательно, величины независимы

=(30-30-30+30) = 0, следовательно, величины некоррелированные

Р((x,y)R) =

Билет № 17

Задача № 1. Вычислительная машина состоит из n блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени T первого блока равна Р_1,второго Р₂ и т.д. При отказе любого блока отказывает и машина. Найти вероятность того, что машина откажет за время T.

Задача № 2. Спортсмен производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна Р. Заданы случайная величина X={ разность между числом попаданий и числом промахов}. Описать случайную величину X и исследовать её при Р=0,8.

Задача № 3. Передаются 2 сообщения, каждое из них может искажено или не искажено. Заданы события: A={сообщение искажено} , причем для первого сообщения Р(А)=0,8 , а для второго – 0,9. Система (x,y) задана таким образом:

X={ 1, если первое сообщение искажено

0, если первое сообщение не искажено ;

Y={ 1, если второе сообщение искажено

0, если второе сообщение искажено };

Рассмотрим X и Y, как систему (x,y), описать и исследовать её.

Решение:

Задача №1

A={Система откажет}