Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: Методические указания к курсовой работе

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Методические указания к курсовой работе по информатике

для студентов специальности 110300

Санкт-Петербург

2002 год

Аннотация

Данное методическое пособие предназначено для студентов специальности ЭП (110300) - “Теплофизика, автоматизация и экология промышленных печей”. Оно содержит краткое описание некоторых широко используемых методов численного решения  обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Приведены примеры использования уравнений в качестве математических моделей некоторых прикладных задач: экологических, механических. Даны примеры реализации описанных алгоритмов и анализа решений. В пособии содержится набор заданий для курсовой работы. Оно может быть полезно и студентам других специальностей.

Составитель Быкова Е. В.

Введение

План подготовки студентов специальности ЭП включает в себя  ряд дисциплин, изучающих сложные физические и химические процессы. Перечислим  хотя бы некоторые  из них: механика жидкости и газа, теплофизика, физическая химия, автоматизация и управление технологическими процессами производства. Как правило, изучаемые процессы  описываются   дифференциальными уравнениями. Математические модели реальных физических процессов могут быть довольно сложными —  настолько, что решение задачи в аналитическом виде практически невозможно. В этом случае прибегают к упрощенным моделям и приближенным методам решения задач. Широкое внедрение компьютеров в научную и инженерную деятельность позволило численно решать и весьма сложные уравнения, довольно точно описывающие рассматриваемые явления. Над  решением их могут работать большие коллективы ученых и инженеров,  всесторонне изучающих проблему, начиная с теоретической модели и заканчивая опытно-конструкторскими разработками. Исследование всегда начинается с простых задач, позволяющих последовательно изучить проблему, выявить качественные особенности решения  или, наоборот, установить недостатки выбранной упрощенной модели. Приведем примеры  дифференциальных уравнений, описывающих некоторые модельные физические задачи.

Примеры.

1.  Уравнение распада радиоактивного вещества

                                                                                                                  (1)

 с начальным условием    . Здесь y - масса вещества в текущий момент времени.

2.  Уравнение малых колебаний маятника

                                                                                                     (2)

с начальными условиями     и   . Здесь  — отклонение маятника от положения равновесия.

3.   Если колебания маятника не являются малыми, то они описываются уравнением 

                                                                  (3)

с начальными условиями     и   .

4. Колебания струны с закрепленными концами описываются линейным уравнением с частными производными, так называемым волновым уравнением:

                                                                 (4)