Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: Методические указания к курсовой работе, страница 3

1. Теоретические сведения о методах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.1. Постановка задачи.  Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно первой производной

                                                        (1.1)

на отрезке   c начальным условием

,                                                            (1.2)

или, как говорят, задачу Коши.

Решением задачи Коши является функция, которая при подстановке ее в уравнение обращает данное уравнение в тождество,  и удовлетворяет начальному условию. Теорема существования и единственности утверждает, что если функция f (x, y) дифференцируема по y  в окрестности точки плоскости (x₀, y₀) и  ее производная  в этой точке, то задача (1.1)-(1.2) однозначно разрешима в окрестности данной точки. Если функция  дифференцируема на всем отрезке [a, b], то решение задачи Коши также существует на всем отрезке. При численном решении задач чаще всего требуется найти решение для значений x > x₀, т.е. a=x₀.

При решении задачи приближенными методами возникает вопрос о том, что является приближением решения. Чаще всего используют приближение искомой функции таблично заданной функцией.

Пусть  n  — натуральное число. Разобьем отрезок   на  n равных частей. Шаг изменения  x  обозначим через   h . Точки деления обозначим: , причем.где. Вместе с концами отрезка назовем их узлами. Обозначим приближенные значения искомой функции в узлах y(x_i)=y_i .

Определение. Приближенным решением будем называть функцию y(x),  вычисленную в узлах x=x_i,  в некотором смысле близкую к точному решению данного уравнения.

В частности, в качестве меры точности можно рассматривать максимальную разность между точным и приближенным решением в узлах. Пусть y*(x)  точное решение. Погрешность решения  определяется как величина:

d = max |y_i - y*(x_i)|   i=0,1,…, n                                 (1.3)

1.2. Метод  Эйлера

Метод Эйлера - один из простейших методов приближенного решения задачи (1.1)-(1.2). Он позволяет вычислить значения искомой функции в узловых точках промежутка интегрирования уравнения.

Пусть  начальное значение  искомой функции  y(x₀) =y₀. Можно приближенно вычислить следующие значения, находя приращение функции через дифференциал:

              .                        

Для вычислений  используется формула:

                ,                   (1.4)

x_i+1=x_i+h

где x₀, y₀ определено из начальных условий (1.2), а f(x_i, y_i) -  функция в правой части уравнения (1.1), вычисленная в узловой точке.

Метод Эйлера является очень простым, но и очень грубым. Он имеет скорее теоретическое значение. Он относится к так называемым методам первого порядка, т.е. дает точность порядка  O(h). Это означает, что разность между истинным решением уравнения и приближенным решением при  является бесконечно малой того же порядка, что и h.