Определение аппроксимирующих полиномов заданной функции методом наименьших квадратов

6. Программа на языке Pascal

Как следует из метода наименьших квадратов, при выборе аппроксиммирующих функций в виде полиномов математическое содержание решаемой задачи сводится к нахождению корней системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой определяется выбором соответствующего полинома.

В данном фрагменте курсовой работы в соответствии с постановкой задачи приведена программа на языке Pascal, позволяющая определить аппроксимирующие полиномы первой и второй степени. Корни решаемых систем уравнений определяются в двух вариантах по способу Крамера и путем непосредственного решения соответствующей системы уравнений. Формулы, отражающие корни соответствующих систем уравнений получены с использованием символьного процессора пакета MathCad и приведены ниже.

Указание. Для того чтобы символьно решить конкретную систему уравнений относительно неизвестных используется функция Find. Сначала вводится с клавиатуры ключевое слово Given , затем – уравнения системы. Например, решение системы третьего порядка относительно неизвестных х1, х2, х3 осуществляется путем введения функции Find(х1,х2,х3) и ввода знака символьных вычислений (<Ctrl> + <.>) и щелчка по свободному месту рабочего документа.

Фрагмент рабочего документа MathCad с символьными вычислениями при непосредственном решении систем уравнений второго и третьего порядка имеет вид:

·  определение корней системы второго порядка (вариант линейной аппроксимации)

·  определение корней системы третьего порядка (вариант квадратичной аппроксимации)

Фрагмент рабочего документа MathCad с символьными вычислениями при решении соответствующих систем уравнений методом Крамера имеет вид:

·  определение корней системы второго порядка (линейная аппроксимация)

      Корни имеют вид X1 = D1/D0, X2 = D2/D0, где D1 = q1*c – q2*b, D2 = q2*a – q1*b

          D0 = a*c - b*b

·  определение корней системы третьего порядка (квадратичная аппроксимация)

         Корни имеют вид X1 = D1/D0; X2 = D2/D0; X3=D3/D0

            D1 = q1*c*u + q2*c*d + q3*b*d – q1*d*d – q2*b*u – q3*c*c

            D2 = q1*c*d + q2*a*u + q3*b*c – q1*b*u – q2*c*c – q3*a*d

            D3 = q1*b*d + q2*b*c + q3*a*c – q1*c*c – q2*a*d – q3*b*b

D0 = a*c*u + b*c*d + b*c*d – c*c*c – b*b*u – a*d*d

Обратим внимание, что в решаемых системах уравнений (4) и (5) столбцы свободных членов и коэффициенты при неизвестных кроме коэффициента находящегося в первом уравнении при неизвестном  являются суммами, которые при написании программы будем вычислять по программной единице function sum(x,y:mas_1_16;N,m,p:integer):real ориентированной на вычисление суммы вида . Учитывая, что значения изменения аргумента и заданной функции могут быть отрицательными и равными нулю следовательно использование логарифмических зависимостей при вычислении сумм приведет к некоторому увеличению алгоритма, поэтому при вычислении входящих в общий член суммы сомножителей  и  при написании программной единицы function sum(x,y:mas_1_16;N,m,p:integer):real на языке Pascal воспользуемся традиционным алгоритмом, используемом при создании фрагментов программ по вычислению произведений в виде:

     P:= 1;

For i:= 1 to n do

     P:= p*q[i];

где q[i] принимает значения  и .

Ниже приведена блок-схема алгоритма и  в приложении 1 программа на языке Turbo Pasсal.  В приложении 2 отражено сопоставление результатов расчетов полученных в системе  MathCad и Turbo Pascal.

                                     Укрупненная блок-схема

 

7. Выводы

Данная курсовая работа посвящена определению аппроксимирующих полиномов заданной функции методом наименьших квадратов. Коэффициенты детерменированности близкие или равные единице и графики искомых функций позволяют удостовериться в том, что аппроксимирующие полиномы найдены верно. Наилучшая аппроксимация табличных данных получена при использовании кубического полинома, так как в этом случае коэффициент детерминированности наиболее близок к единице. Следовательно, кубический полином дает наилучшую аппроксимацию исходных данных.   

Библиографический список

1.Богумирский Б.С. Norton Commander 5.0 Новые возможности для пользователя. СПб, 1995г.

2.Богумирский Б.С. MS-Dos 6.2/6.2: Новые возможности для пользователя. СПб, 1995г.

3.Нортон Питер Руководство по DOS Питера Нортона. М.:1995г.

4.Долголаптев В.Г. Работа в Exsel 7.0 для Windows 95 на примерах. М.: 1995г.

5.Зуев Е.А. Програмирование на языке Turbo Pascal 6.0; 7.0. Ь.: 1993г.

6.Ян Белицкий Turbo Pascal с графикой для персональных компьютеров. М.:1991г.

7.Потапкин А.В. Операционная система Windows 95. M.:1996г.

8.Рогов И.П. Microsoft Offis 97 М.: 1997г.

9.Кинг Адриан Windows 95 изнутри. СПб, 1995г.

10.Дженнигрс Р. Windows 95  в подлиннике. СПб, 1995г.

11.Вострикова З.П. Сервисная программа Norton Commander СПб, 1995г.

           12.Смирнов В.В. Работа в MathCad 7 Professional. М.: 1999г