Законы сохранения в механике (примеры решения задач): Методические указания к решению задач по физике, страница 10

Моменты сил тя-жести, действующих на все тела, входящие в систему, и силы реакции опоры, действующей на скамейку, в рассматриваемых положениях тел равны нулю, так как линии действия этих сил совпадают с осью вращения системы (система симметрична относительно оси вращения), у сил нет плеч, поэтому они не могут изменять вращательного движения системы. Силой трения между осью и вращающимся диском при кратковременном изменении положения стержня можно пренебречь. Таким образом, результирующий момент внешних сил можно считать равным нулю и для решения задачи можно применять закон сохранения момента импульса:

,                                                             (1)

где  и  – моменты импульса системы при горизонтальном и вертикальном положениях стержня соответственно.

Момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов тел, входящих в систему, поэтому

;                               (2)

,                             (3)

где  и  – моменты инерции стержня относительно оси вращения при его горизонтальном и вертикальном положениях;

 и  – угловые скорости системы в соответствующих состояниях.

Направление угловой скорости  (рис. 12, а) вдоль оси вращения вверх определяется по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения системы. Направление угловой скорости  заранее не известно (определяется при решении задачи), поэтому на рис. 12, б оно отмечено знаком вопроса.

Подставив формулы (2) и (3) в уравнение (1), получим соотношение:

                                        (4)

Отсюда выразим угловую скорость:

                                              (5)

Выражение (5) позволяет сделать два вывода:

1) угловая скорость системы при вертикальном положении стержня со-направлена с угловой скоростью системы при его горизонтальном положении: , следовательно, и направление вращения системы не меняется;

2) так как моменты инерции величины положительные, модуль угловой скорости системы при вертикальном положении стержня определяется по формуле:

.                                                (6)

Связь модулей угловых скоростей  и  с соответствующими частотами вращения  и  описываются уравнениями:

                                                      (7)

                                                     (8)

Стержень считается тонким и при вертикальном положении совпадает с осью вращения, поэтому его момент инерции относительно оси вращения можно принять равным нулю:

.                                                       (9)

При горизонтальном положении стержня его момент инерции относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с осью симметрии стержня, определяется по формуле:

.                                                    (10)

Подставив формулы (7) – (10) в выражение (6) и сократив обе части полученного соотношения на  получим  формулу для определения частоты вращения системы:

.                                           (11)

Подставив данные задачи в уравнение (11), получим:  об/с.

Для определения работы, совершаемой человеком при изменении положения стержня, применим теорему об изменении кинетической энергии:

,                            (12)

где ,  – кинетическая энергия системы при горизонтальном и вертикальном положениях стержня соответственно,

;                                   (13)

.                                  (14)

Работы сил реакции опоры , тяжести , приложенных к каждому телу, равна нулю, так как моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю, работа сил трения в оси  пренебрежимо мала по условию, поэтому

.                                           (15)

Подставив выражения (13) – (15) в равенство (12) и выполнив преобразования полученной формулы с учетом уравнений (6) – (10), получим формулу для определения работы, совершаемой человеком:

. (16)

Подставив численные значения в формулу (16), получим:   Дж.

Ответ: ,  об/с;

,  Дж.