Основи кореляційно-регресійного аналізу: Методичні вказівки для вивчення теми курсів “Теорія ймовірностей та математична статистика”, “Економетріка” і “Математика для економістів”, страница 3

 .

Нижче наведені обчислені за цією формулою координати вузлів емпіричної лінії регресії для нашого прикладу.

Розрахунки цих вузлів емпіричних ліній регресії будуть більш докладно наведені далі у загальній таблиці розрахунку сум (див. табл. 4).

При малому числі спостережень у деякі групи потрапляє занадто мало даних, тому середні значення показників у цих інтервалах будуть малонадійними. Емпірична лінія регресії в цьому випадку буде мати невиправдані зломи, “провали” чи “викиди”, які треба згладити. Рекомендується об’єднувати малонасичені інтервали з сусідніми доти, поки в кожному  інтервалі буде не менш 5 спостережень, а для малої вибірки  (n<100) – не менш 5% від загальної кількості спостережень, тобто не менш 0,05·n . Для нашого прикладу 0,05·60=3, тому об’єднанню підлягають крайні інтервали з частотами  k₁=k₈=1. Для об’єднаних інтервалів треба обчислити обидві координати вузлів:

.

Точки з координатами (x_i , u_i) з’єднуємо відрізками прямих і одержуємо графік кореляційної залежності, навколо якого розсіяні вихідні точки (рис. 2).

У тих випадках, коли напрямок причинно-наслідкових зв’язків не відомий, обчислюють також вузли спряженої лінії регресії  x по y (див. рис. 3), тобто середні значення показника  x  у кожній горизонтальній смузі табл. 2 :

  .

Малонасичені інтервали (9, 10, 11) об’єднуємо.

Зараз нам здається, що є єдиний можливий напрямок причинно-наслідкових зв’язків – від  x  до  y , тобто зростання обсягів прохідницьких робіт може підвищувати собівартість продукції, але не навпаки; побудова ж спряженої залежності виправдано лише методичними міркуваннями, щоб показати, як це робиться в разі потреби. Однак не будемо квапитися з остаточними висновками. Кореляційний аналіз не вирішує питання ані про природу досліджуваних зв’язків, ані про їхній напрямок (“кореляція - не є причина”). Цілком можливо, що кореляція між двома змінними спостерігається лише тому, що обидва показники залежать від однієї і тієї ж самої причини. У такому випадку немає підстав підносити будь-який показник у ранг результативної ознаки і тим самим віддавати перевагу одній з спряжених залежностей; тут більш доцільним представляється використання “діагональної регресії”, графік якої збігається з головною віссю облака розсіювання. Спосіб побудови діагональної регресії буде поданий далі.

Розрахунок сум

Наша мета – оцінити (обчислити) параметри лінійної моделі

y = b₀ + b₁ x + e .

Відомо, що ці параметри (коефіцієнти регресії) визначають за формулами:

де                                                                            .

Отже, нам потрібно підрахувати суми  [x], [y], [x²], [y²], [xy], де квадратними дужками позначено сумування по всім спостереженням (позначення Гауса). У попередньому розділі дані були піддані подвійному угрупованню (на k_x=8  класів – по змінній  x  і на  k_y= 11  класів – по змінний  y). У кореляційній табл. 2 приведені значення центрів класів, частоти  m_ij  влучення емпіричних даних у клітинку з центром (x_i , y_j), сумарні частоти по стовпцях  і рядках  . Загальне число спостережень  .

Розглянемо детально суми, що необхідні для розрахунку параметрів лінійної моделі, по згрупованих даних:

Першу суму можна обчислити по двох еквівалентних формулах  і . Подвійний розрахунок забезпечує надійний контроль. Для інших сум можна також запропонувати обчислення з поточним контролем.