Задача №12. (парадокс Бертрана – задача, опубликованная в книге «Исчисление вероятностей» Жозефа Луи Бертрана в 1889 г.)Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность.
Первый метод: хорда определяется точкой-серединой хорды (1/4) (равномерность в круге). Второй метод: один конец хорды фиксирован на окружности, другой конец равномерно распределён по окружности (1/3) (равномерность на окружности). Третий метод: точка выбирается равномерно на произвольном радиусе окружности, хорда проводится перпендикулярно этому радиусу (1/2) (равномерность на радиусе). Четвёртый метод: выбор точки в круге, а затем построение хорды в случайном направлении (0,609…). Пятый метод: две точки (края хорды) случайно распределены по окружности (0,7449).
Практическое занятие №4-5
Тема: «Теоремы сложения и умножения вероятностей»
План:
§ Повторение лекционного материала;
§ Проверка отсутствующих;
§ Обсуждение результатов КР№1;
§ Решение задач;
§ Контрольная работа №2 (Задача №4 из пособия по ТВ Сазоновой Е.Л.; карточки КР «Случайные события», задачи №№4,5);
§ Проверка домашнего задания, в том числе задач РГР;
§ Выдача нового домашнего задания.
Задачи для решения
Задача №1. Известно, что 40% выпускаемых заводом транзисторов некоторого типа, удовлетворяют классу «А» (имеют маркировку «А»), 45% продукции – удовлетворяют классу «Б», а 10% – удовлетворяют классу «В». Найти вероятность того, что случайно отобранный транзистор будет принадлежать классу
a) «А» или «Б»;
b) будет не выше класса «В».
Задача №2. Каждая из двух радиолокационных станций независимо друг от друга обнаруживает объект за один цикл с вероятностью 0,8. За определённое время наблюдения каждая станция успевает сделать два цикла. Найти вероятность того, что объект за это время будет обнаружен хотя бы одной станцией.
Задача №3. Система радиосвязи состоит из передатчика, приёмника и блока питания, вероятности безотказной работы которых за определённое время соответственно равны 0,95; 0,83; 0,98. Найти вероятность безотказной работы всей радиосистемы, если отказы её компонентов являются независимыми.
Задача №4. Найти вероятность того, что выбранное наугад целое число:
a) делится на 2 или на 3;
b) делится на 2 и на 3;
c) делится на 2 и не делится на 3;
d) не делится ни на 3, ни на 5, ни на 7.
Задача №5. Проводится игра спортлото 6 из 49. Найти вероятность получения выигрыша, если для этого необходимо отгадать (в произвольном порядке) хотя бы четыре цифры из шести, выбранных лототроном.
Задача №6. Вероятность подавления линии связи противника одной из станций помех равна 0,6.
a) включены одновременно две станции помех. Определить вероятность подавления линии связи, если их мешающие действия станций независимы.
b) сколько необходимо включить станций помех, чтобы линия связи противника была бы подавлена с вероятностью не менее 0,95.
Задача №7. Вероятность отказа основного парашюта равна 0,97. Вероятность отказа запасного парашюта 0,95. Найти вероятность несчастного случая, связанного с отказами парашютов.
Задача №8. Вероятность опоздания поезда по причине неисправностей оборудования (пути, подвижного состава, автоматики и телемеханики) – 0,008; вследствие диспетчерских ошибок – 0,01; по другим причинам (таможенный осмотр, несчастные случаи, и т.п.) – 0,2. Определить вероятность опоздания поезда.
Задача №9. Автоматическая система контроля негабаритности (АСКН) груза подвижного железнодорожного состава использует фото датчики. В сложных погодных условиях (наличие снега, дождь, пыль) работа оптических пар (светодиода и фотоприемника) может кратковременно нарушаться, что вызывает ложную выработку сигнала «негабаритность груза». Для исключения ложного срабатывания в АСКН установлены три дублирующих оптических пары. Выработка сигнала «негабаритность груза» осуществляется при одновременном отключении всех трех оптических пар. Предполагая, что ложные отключения каждой оптической пары независимы друг от друга и в течение времени контроля одного состава происходят в среднем с вероятностью 0.2, определить вероятность того, что при прохождении состава системой АСКН будет ложно выработан сигнал «негабаритность груза».
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.