Теория контроля контактных схем, страница 13

          Доказательство. Докажем сначала необходимость второго и третьего условий. Если существует контакт , который совместим (несовместим) со всеми контактами множества , то из теоремы 3.4 следует, что , где , где , ), и поэтому неисправность . Аналогично, если существует контакт , который несовместим (совместим) со всеми контактами множества , то  , где , ). Докажем теперь необходимость первого условия. Предположим обратное. Пусть неисправность  не имеет ни одной составляющей вида . Это возможно только в том случае, если множество  (или ) является пустым или одноэлементным. Но при этом, очевидно, не выполняется третье (второе) условие данной теоремы, которое, как мы уже показали, является необходимым. Получаем противоречие.

          Пусть теперь неисправность  содержит составляющие вида , но для всех них не выполняются условия 2 и 3 теоремы 3.3. Пусть   и контакт  из всех контактов множества  совместим с наименьшим числом контактов множества  (среди контактов  нет такого, который несовместим со всеми контактами множества  согласно третьему условию теоремы). Обозначим через () множество контактов из , которые совместимы (несовместимы) с контактом . Рассмотрим некоторый контакт  и покажем, что ). Предположим обратное, что не выполняется это включение. Это значит, что существуют контакты  и  ( такие, что  ,     и  ,   . Следовательно  ,  , ,  и для неисправности  условия 2 и 3 теоремы 3.3 выполняются, что противоречит посылке. Итак, . Отсюда следует, так как контакт  выбран произвольно, что контакты множества  совместимы со всеми контактами множества , что противоречит второму условию теоремы. Поэтому неисправность  содержит хотя бы одну составляющую вида , для которой выполняются условия теоремы 3.3. Теорема доказана.

          Из  условий  теоремы 3.4  может  быть определена структура неисправностей кратности , которые включаются в список . Найдем, например, такую структуру для . Согласно первому условию теоремы 3.4 неисправность кратности пять должна содержать составляющую (). Следовательно, это могут быть неисправности только двух видов:  и  .

          Теорема 3.5. Для того чтобы неизбыточная неисправность кратности 5 содержалась в контрольном списке , необходимо одновременное выполнение следующих условий:

          1) неисправность имеет вид  или  ;

          2) составляющая неисправность  удовлетворяет условиям теоремы 4.3;

          3) .

          Используя доказанные теоремы найдем множества  и  для схемы рис. 3.12 путем наращивания неисправностей из списка :  = , , , , ,  , ,    , , ; = {,  , , . Контрольные списки  и  являются пустыми. Итоговые результаты вычислений приведены в табл. 3.16.

Т а б л и ц а   3.16

Данные табл. 3.16 показывают эффективность применения теорем 3.1–3.5 для сокращения списка неисправностей. При построении полного теста схемы рис. 3.12 достаточно рассмотреть только 34 неисправности из общего их числа 6560 (0,5%)

          Естественная методика вычисления полного проверяющего теста заключается в следующем. Сначала строится тест, проверяющий неисправности кратности один (одиночный тест). Контрольный список  находится в соответствии с табл. 3.13. Затем с помощью теоремы 3.3 находится множество  и тест расширяется  (если это необходимо) с учетом проверки неисправностей кратности четыре. Затем с использованием теоремы 3.4 данная процедура осуществляется по отношению к неисправностям кратности пять, шесть и т.д. При этом возникают два интересных с теоретической и важных с практической точек зрения вопроса: