Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, страница 4

            2.1.4.5. Частные случаи общего уравнение прямой A x + B y + C = 0.

            Если А = 0, то , и уравнение приводится к виду . Прямая параллельна оси Ох.

Если В = 0, то , и уравнение приводится к виду . Прямая параллельна оси Оу.

Если С = 0, то точка О(0, 0) удовлетворяет уравнению прямой. Прямая проходит через начало координат.

2.1.4.6. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть прямая l₁ задана уравнением

у = к₁х + b₁, прямая l₂ задана уравнением у = к₂х + b₂; . Обозначим  угол между этими прямыми. Так как , то . Таким образом, . Если прямые заданы своими общими уравнениями

l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0, то , и .

            Отсюда выводятся условие параллельности прямых: l₁|| l₂, если к₁ = к₂, или , или  А₁В₂ = А₂В₁.

            и условие перпендикулярности прямых: , или

А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

            2.1.4.7. Условие перпендикулярности вектора и прямой. Любой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным (к этой прямой). Если прямая l  задана своим общим уравнением A x + B y + C = 0, то вектор N(A, B) нормален к l. Любой другой ненулевой вектор р(a, b), нормальный к прямой l, должен быть коллинеарным вектору N(A,B), поэтому окончательно условие перпендикулярности вектора и прямой запишется в виде .

            2.1.4.7. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая l задана уравнением A x + B y + C = 0, M₀(x₀, y₀) – произвольная точка плоскости. Для любой точки М₁(x₁, y₁), лежащей на прямой, расстояние d от точки M₀ до прямой l равно абсолютной величине проекции вектора  на нормальный вектор N(A, B). Пусть точка М₁ имеет координаты (x₁, y₁), тогда, и

 , так как из принадлежности точки М₁ прямой l следует, что Ax₁ + By₁ + C = 0, т.е. (-Ax₁ - By₁) = С. Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно подставить координаты точки в общее уравнение прямой и полученное число разделить на длину нормального вектора. Так, расстояние между точкой M(1, 2) и прямой 3х + 4у + 5 = 0 равно . Расстояние от этой прямой до точки M(-5; 2,5) равно , т.е. эта точка лежит на прямой.