Математический анализ. Задачи для подготовки к Госэкзаменам

Страницы работы

Содержание работы

ЗАДАЧА1. Найти дифференциальное уравнение: W(p)=?, построить частотные характеристики, определить переходную характеристику.

   Решение : из  уравнения  материального  баланса  изменение  количества жидкости в баке за время Dt определяется  соотношением между расходами на притоке Qпр и стоке Qст :  или  . Устремив Dt к нулю получим уравнение определяющее состояние  объекта при изменении Qпр(t) и Qст(t)..

Приток Qпр(t) не зависит от уровня жидкости в баке, а сток Qст(t) находится в квадратичной зависимости от перепада давлений , определяющегося величиной уровня жидкости :

 , a - коэффициент расхода.

Если допустить , что отклонение Dh=h-h0 от исходного  значения уровня h0 мало , то нелинейную зависимость  можно заменить приближенной линейной . Разлагая  в ряд Тейлора по степеням Dh в окрестности значения h0  и ограничиваясь двумя первыми членами ряда , получим :

C учетом  и  искомое приближенное уравнение объекта :

Для сокращения записи знак приращения D можно опустить :

,  где a и b – постоянные коэффициенты ;

Линейное уравнение (*) составлено в приращениях ; без  указания исходного режима , в окрестности  которого произведена линеаризация , это уравнение не имеет смысла.

Построим частотные характеристики для объекта , описываемого диф. уравнением :

ЗАДАЧА 4. Построить фазовую траекторию в общем виде и  сделать вывод об устойчивости

 

                  

разделим переменные

                    интегрируем при начальных условиях: t=t0, у=у0, z=z0

при у<0:

при у>0:

В начальный момент t=0      Þ                    y0=a0, z0=0

спираль приближается к точке устойчивости (0),

совершая затухающие колебания, т.о. система устойчива.

 



ЗАДАЧА  2. Определить спектр сигнала x(t) = a  t ³ 0.

Решение :  ,

,

        =>                  

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Экзаменационные вопросы и билеты
Размер файла:
1 Mb
Скачали:
0