Стационарный пограничный слой на пластине в газовом потоке, страница 8

Для наглядного представления результатов линейной задачи обычно используют график, называемый кривой нейтральной устойчивости (рис.22). Линия на рисунке с с_i=0 разделяет области нарастания возмущений от области затухания. Это предел устойчивости. Для заданной частоты w из этого графика мы можем определить диапазон чисел Рейнольдса, в котором возмущение растет.

При некоторых, достаточно малых числах Re., все возмущения затухают. Особое значение имеет наибольшее из таких чисел Рейнольдса. Его называют критическим числом Рейнольдса потери устойчивости – Re_кр. Для расчета, представленного на рис. 22 в виде изолиний равного нарастания вомущений, Re_кр.=420. Для Re>Re_кр найдутся возмущения, которые растут при увеличении Re и могут вызвать переход. Не надо путать критическое число Рейнольдса потери устойчивости с числом Рейнольдса перехода. Если первое указывает только на возможность осуществления перехода, то второе - на уже свершившийся факт смены режимов течения.

Обычно с расчета нейтральных кривых начинают анализ устойчивости. Из рассмотрения нейтральных кривых сразу можно определить области параметров, для которых течение неустойчиво, выявить факторы, влияющие на поведение возмущений, что особенно важно для задачи ламинаризации.

Другой важной характеристикой возмущений являются коэффициенты нарастания (с_i или a_i), которые показывают насколько быстро растут возмущения. На рис. 22 цифрами при изолиниях, вложенных в кривую нейтральной устойчивости, показаны значения временного нарастания возмущений.

Отметим, что первоначально линейная теория устойчивости была воспринята весьма скептически, и только после блестящих экспериментов Шубауэра и Скрамстеда (1943) она стала общепризнанной. Сейчас на теории гидродинамической устойчивости основаны методы предсказания перехода и она широко используется в задачах ламинаризации пограничных течений.

Для верификации линейной теории устойчивости было решено несколько технических задач. Были созданы специальные приборы для регистрации малых возмущений - термоанемометры. Основным чувствительным элементом термоанемометров является тонкая, диаметром в несколько микрон, металлическая нить. Она нагревается электрическим током и становится очень чувствительной к любым изменениям в окружающей среде, например, к пульсациям скорости.

Другим важным прибором стали малотурбулентные аэродинамические трубы. Необходимо было снизить уровень пульсации в рабочей части аэродинамической трубы до нескольких сотых процента. Поток в таких трубах был практически невозмущенным и можно было исследовать развитие действительно малых возмущений.

Шубауэр и Скрамстед использовали метод моделирования процессов неустойчивости. Они первыми ввели в пограничный слой малые возмущения с помощью специального источника возмущений - металлической ленточки, помещенной в магнитное поле, по которой пропускался переменный электрический ток. Изменяя частоту вибраций ленточки, они первыми промоделировали неустойчивые волны пограничного слоя, которые были предсказаны теоретически и получили название волн Толлмина-Шлихтинга. Измеренные в экспериментах фазовые скорости, инкременты и нейтральная кривая хорошо согласовывались с теоретическими расчетами. Предложенный Шубауэром и Скрамстедом метод моделирования нашел сейчас широкое применение в исследованиях устойчивости различного типа течений.

10.2. Метод малых возмущений

Рассмотрим систему уравнений движения вязкого газа (1.7), (1.20), (1.33), (1.37). Обсудим устойчивость стационарных ламинарных течений. Каждую из величин, входящих в уравнения, удобно представить в виде суммы

,                                  (10.1)

здесь  - решение стационарных уравнений Навье-Стокса;  - возмущение. Отметим, что как величина , так и величина  описываются системой уравнений динамики вязкого газа. Поэтому подстановка (10.1) в уравнения, после пренебрежения квадратичными членами, дает следующую линейную систему уравнений: