Методы регрессионного анализа. Сущность и задачи регрессионного анализа (Раздел 9 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных"), страница 10

Для модели РА-2 экспериментальные данные представляются табл.9.8. В данной таблице имеют место системы случайных величин , , т.е. каждому сочетанию значений факторов  соответствует одно значение результата .

В рассматриваемом случае линейного регрессионного анализа методы построения моделей вида (9.3.1) и (9.3.2) одинаковы. Это связано с тем, что математические ожидания ошибок  наблюдений равны нулю. Предположения, рассмотренные в п.п.9.2.1, остаются в силе.

Таблица 9.8

Представление результатов многофакторного эксперимента (модель РА-2)

Опыты	Факторы						Результаты наблюдений
	x1	x2	×××	xj	×××	xk
1	x11	x12	×××	x1j	×××	x1k	y1
2	x21	x22	×××	x2j	×××	x2k	y2
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
i	xi1	xi2	×××	xij	×××	xik	yi
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
n	xn1	xn2	×××	xnj	×××	xnk	yn

9.3.2. Построение уравнения множественной регрессии

Задача построения уравнения регрессии сводится к оцениванию коэффициентов

                                                      (9.3.3)

в выражении

                            .                                                         (9.3.4)

Поскольку значения факторов могут иметь различный порядок, то для упрощения вычислений целесообразно использовать их центрированные значения

                                    ,    ,  ,       (9.3.5)

где   .

Кроме этого вводится n-мерный единичный вектор

                                                ,

что необходимо для оценки свободного члена уравнения регрессии. Матрица центрированных значений факторов при этом имеет вид

                           .                                                         (9.3.6)

Из вышеизложенного следует, что коэффициенты регрессии оцениваются в уравнении

                             . (9.3.7)

После вычисления данных оценок возврат к уравнению вида (9.3.4) осуществляется подстановкой (9.3.5). При этом значение коэффициента b₀  изменяется.

Подходящую оценку  вектора B_<k+1> = (b₀, b₁, b₂,…,b_k)^т находим методом наименьших квадратов. Так же, как и в случае однофакторной регрессии, необходимо минимизировать сумму квадратов невязок (9.2.10). В данной формуле оценки  математических ожиданий результата находятся из соотношения

                                                .                   (9.3.8)

Учитывая (9.3.8), выражение (9.2.10) принимает вид

                                          .             (9.3.9)

Таким образом, найденные оценки  должны удовлетворять условию

                                       .        (9.3.10)

Для определения минимума (9.3.10) функции (9.3.9) составляем систему нормальных уравнений вида (8.2.10):

                              .                                                        (9.3.11)

Уравнения (9.3.11) получены исходя из того, что частная производная квадратичной функции (9.3.9) по переменной  находится следующим образом:

                 (9.3.12)

                        

Частную производную (9.3.12) приравниваем к нулю и обе части полученного уравнения умножаем на –2. В результате имеем j-е уравнение системы (9.3.11). Далее выполняем почленное суммирование в уравнениях рассматриваемой системы, переносим в правую часть слагаемые, содержащие y_i, а затем умножаем на  –1 обе части каждого уравнения. Указанная последовательность операции приводит к эквивалентной системе уравнений