Пособие по выполнению расчётно-графической работы по курсу «Общая электротехника и электроника», страница 12

      Сравнивая формулы (1) и (3), видно, что:

                                ,   .                        (4)

      Соотношения (4) показывают, что если необходимо перейти из показательной формы представления комплексного числа (2) в алгебраическую форму его представления (1) необходимо выполнить действия (4).

          В процессе расчета возникает необходимость суммирования, вычитания, деления и умноже­ния комплексных чисел. Рассмотрим эти действия над комплексными числами.

     Очевидно, что два комплексных числа равны, если равны их, соответственно, вещественные и мнимые части при алгебраической форме представления (1), или равны их модули и фазы при показательной форме представления (2).

      Рассмотрим два комплексных числа в алгебраической форме:

                        ,        .            

        Эти же числа в показательной форме (2) имеют вид:

                            ,      .                          

      Для суммирования или вычитания комплексных чисел их необходимо представить в алгебраической форме. Процесс суммирования (вычитания) состоит в суммировании (вычитании) отдельно вещественных составляющих и отдельно мнимых  составляющих комплексных чисел. Тогда сумма (разность)  этих чисел будет равна:

                             .                         (5)

        Суммирование и вычитание комплексных чисел можно осуществлять

и в геометрической форме на комплексной плоскости по правилу параллелограмма, т.е. так же, как суммируются вектора (рис. 2).

                            Нет векторной диаграммы.

        Рис.П.2 Векторное суммирование комплексных чисел

Умножения  комплексных чисел.

    Рассмотрим вначале умножение комплексного числа на постоянное число.

     При умножении комплексного числа на положительное постоянное число  изменяется только его модуль. Рассмотрим пример при показательном представлении комплексного числа.

                    .                                             (6)

     При умножении комплексного числа на отрицательное число () модуль его изменяется так же, как в предыдущем случае, но так же изменяется  и его фаза на .

                       .                                    (7)

   При перемножении комплексных чисел они могут быть представлены или в алгебраической форме или в показательной форме. При представлении комплексных чисел в алгебраической форме (1) происходит обычное перемножение алгебраических величин с дальнейшей группировкой вещественных и мнимых составляющих. Результаты перемножения имеют вид:

     .     (8)

     При представлении комплексных чисел в показательной форме (2) перемножаются их модули, а их фазы суммируются алгебраически, т.е. с учётом знака и результаты перемножения имеют вид:

                                             .                    (9)

    Деление комплексных чисел.

           При делении комплексного числа на положительное постоянное число  изменяется только его модуль. Рассмотрим пример при показательном представлении комплексного числа.