Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 9

де введена нова постійна a_k=С_kA_k. Залишилося підсумовувати рішення u_k(x,t):

(8.5)

і визначити постійні а_к так, щоб функція u(x,t) задовольняла заданій початковій умові

u(x,0) = (8.6)

Формула (8.6) показує, що а_к є коефіцієнт розкладання функції j(х) в ряд Фур’є по синусах на (0,l), тобто

Рішення неоднорідних задач теплопровідності

Розглянемо застосування етапів 1-3 (див. розділ 4) для різних неоднорідних задач про розповсюдження тепла в стрижні на конкретних прикладах. При цьому звернемо увагу на деякі спрощення в окремому випадку джерел стаціонарної потужності згідно етапу 4 (див. розділ 6).

Приклад 1. ( Із заданим режимом на кінцях)

Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки l, початкова температура якого рівна нулю. На кінці х = l температура підтримується рівній нулю, а на кінці х = 0 вона росте лінійно з часом, так що u(0,t)= At, де А – постійна. Знайти розподіл температури уздовж стрижня при t > 0.

Рішення. Функція u(x, t) є рішення задачі

Згідно етапу 1 будуємо допоміжну функцію m(x,t), що задовольняє крайовим умовам. Це лінійна функція, що проходить через точки (0, А t) і (l,0):

Шукаємо рішення у вигляді

U(x,t)= m(x,t)+ (x,t)

Де для нової невідомої функції (x,t) одержуємо задачу

Тут

Рішення цієї задачі із стаціонарною неоднорідністю в рівнянні згідно етапу 4 шукаємо у вигляді

(x,t) = ₁(x,t)+ ₂(x)

де функцію ₂(x) підбираємо так, щоб

Знаходимо загальне рішення

і з крайових умов визначаємо с₁=-. Значить

Для функції v₁(x,t) одержуємо задачу

Ця задача вирішена методом Фур’є в попередньому параграфі. Запишемо їх рішення:

де

Обчислимо інтеграл по частинах, вважаючи

Отримаємо:

a_k=.

Значить, функція ₁(x,t) має вигляд

Щоб отримати відповідь, треба скласти знайдені функції m(x,t), ₁(x,t), ₂(x,t)

Відповідь:

Приклад 2. (Із заданим режимом на одному кінці стрижня і тепла на іншому)

Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки l, бічна поверхня якого теплоізольована. Початкова температура стрижня відома. Кінець стрижня х=0 підтримується при температурі, рівній нулю, а на кінці х =l відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, температура якого вважається рівною нулю. Визначити температуру стрижня при t > 0.

Рішення. Треба вирішити задачу.

Слідуючи методу Фур’є, шукаємо рішення у вигляді

U(x,t)= X(x) T(t)

Для функції X(x) приходимо до задачі

Загальне рішення рівняння має вигляд

X(x) = С₁coslx +С₂sinlx

Перша умова дає С₁=0, друга умова приводить до трансцендентному відносно власних значень рівнянню lcosll+hsinll=0, звідки . Позначимо ll = m, hl = p, і вирішимо рівняння графічно:

Хай m₁ m₂... m_к.- позитивні корені цього рівняння (негативні корені можна розглядати, відносячи знак «-» до довільної постійної). Тоді - власні функції задачі

Для функцій Т_k (t) маємо рівняння

Звідки ^.

Будуємо ряд

Тут a_k= С_kA_k доберемо таку, щоб задовольнити початковій умові

Зауважимо, що функції не є l - періодичними, тому останнє рівняння не можна розглядати, як розкладання початкової функції j(х) в ряд Фур‘е по синусах на (0,l). Помножимо обидві частини цього співвідношення на і проінтегруємо в межах від 0 до l.

Оскільки власні функції ортогональні, то справа зберігається тільки складове, відповідне значенню k = n:

Підрахуємо інтеграл, що стоїть справа:

і пригадаємо, що . Тоді

Знаходимо

Залишилося знайдені значення а_kпідставити в ряд і записати відповідь.

Відповідь:

Приклад 3. Поставити і вирішити крайову задачу про визначення температури стрижня 0 ≤ х ≤ з теплоізольованою бічною поверхнею, якщо його початкова температура є довільною функцією х, а на кінці стрижня подається ззовні заданий тепловий потік.

Постановка задачі. Хай на бічній поверхні стрижня відбувається конвективний обмін з навколишнім середовищем, температура якого є заданою функцією часу. Нехтуючи деформацією ізотермічних поверхонь, поставимо крайову задачу про визначення температури в стрижні коли на кінці стрижня подаються ззовні постійні теплові потоки.

Рівняння теплопровідності в даному випадку має вигляд:

, (1)

При 0 < t < + ¥, 0 < x < l, де р – периметр поперечного перетину стрижня; a - коефіцієнт теплообміну між поверхнею стрижня і навколишнім середовищем; температура якої рівна u₀ (у нас - u₁= u₀) с – питома теплоємність; l - коефіцієнт температуропровідності матеріалу, з якого виготовлений стрижень; r - густина маси; s - площа поперечного перетину.

U(x,l) = f (x) = - 4, 0 < x < l, - lsu _x(0,t)= q₁(t) = 0

lsu_x(l,t) = q₂(t), 0< t < + ¥

Хай, тоді