Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 6

де

Для вирішення задачі (4.12) доцільно застосувати наступні дії.

Третій етап. Рішення задачі (4.12) шукається у вигляді ряду по власних функціях задачі (4.11):

(4.14)

з невідомими функціями .

В даному випадку:

(4.15)

(слід помітити, що в інших задачах власні функції можуть бути іншими). Підставивши з (4.14) в неоднорідне рівняння, легко отримати

або

(4.16)

де – коефіцієнти Фур’є функції :

(4.17)

З нульових початкових умов задачі (4.12) через уявлення (4.14) виходить, що

(4.18)

отже рівняння (4.16) потрібно вирішувати за граничних умов (4.18). Рішення неоднорідного рівняння (4.16) прийнято шукати у вигляді

Тут і – невідомі функції. Відповідно до методу варіації постійних слід вирішити систему

Звідси

Отже

де – постійні.

Значить, загальне рішення рівняння (4.16) має вигляд:

З умов (4.18) виходить, що тоді рішенню задачі (4.16)-(4.18) після елементарних перетворень можна додати вигляд:

(4.19)

(Це рішення можна було швидше отримати, застосувавши перетворення Лапласа). Підставляючи знайдені функції (4.19) і власні функції (4.15) в уявлення (4.14), можна отримати:

(4.20)

Сума функцій (4.9), (4.13) і (4.20) дасть остаточне рішення задачі (4.8):

(4.21)

Приклад 1. Однорідна струна завдовжки l, закріплена на кінцях і , коливається під дією зовнішньої гармонійної сили розрахованої на одиницю довжини. Знайти відхилення струни за довільних початкових умов. Досліджувати можливість резонансу і знайти рішення у разі резонансу.

Потрібно вирішити задачу:

Рішення слідує шукати у вигляді суми Тут V(x,t)- рішення задачі, розглянутої в розд. 3:

а W(x,t)- рішення задачі з неоднорідністю тільки в рівнянні:

Рішення задачі для V(x,t) дається формулою (4.13), а функцію W(x,t) можна представити у вигляді:

Невідомі функції T_k(t) задовольняють рівнянь (4.16), де g_k(t) коефіцієнти Фур’є правої частини тобто

Якщо позначити

то

Значить, функція T_k(t) задовольняє рівнянню

(4.22)

із умов виходить, що

(4.23)

Рішення неоднорідного рівняння (4.22) із спеціальною правою частиною традиційно розшукується у вигляді суми де – загальне рішення однорідного рівняння, а приватне рішення неоднорідного рівняння можна знайти по виду правої частини.

Далі розглядаються два випадки:

1) Немає резонансу, тобто частота w вимушених коливань не співпадає ні з однією з частот власних коливань. Приватне рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді

Тоді

Підставимо в рівняння(4.22)

і прирівняємо коефіцієнти при і при cos(wt):

;

і отримаємо

Знайшли приватне рішення

Загальне рішення неоднорідного рівняння (4.22) приймає вигляд:

Коефіцієнти С_к і D_kвизначаються з умов (4.23). Перше з них дає . Щоб задовольнити другому, слід продиференціювати функцію :

що при приводить до залежності: звідки

Значить, рішення задачі (4.22)-(4.23) за відсутності резонансу має вигляд:

Тоді

(4.24)

2) Резонансний випадок. Тут важливо пам'ятати, що резонанс виникає, коли частота w зовнішньої сили що вимушує співпадає з однією з частот власних коливань.

Тоді для всіх немає резонансу, значить

Для функція Т_к1 є рішення задачі (4.22)-(4.23), розшукуване у вигляді де як і раніше а приватне рішення неоднорідного рівняння через резонанс має вигляд:

Тоді

Ці похідні слідує підставимо в рівняння (4.22):

Оскільки після приведення подібних отримаємо

Звідси

тобто знайшли приватне рішення

Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння (4.22) приймає вигляд:

Перша з початкових умов (4.23) дає ; після обчислення похідної

при виходить звідки

Значит,

Отже, у разі резонансу

(4.25)

Тут знак "штрих" указує, що при підсумовуванні потрібно пропустити доданок з індексом .

Залишилося скласти функції (4.13) і (4.24) за відсутності резонансу або (4.13) і (4.25) у разі резонансу.

Задачі для самостійного розв’язування

1. На струну завдовжки постійно діє зовнішня збудлива сила, густина якої (в розрахунку, на одиницю аси струни), рівна де а – постійна, фігуруюча в рівнянні струни w – дане позитивне число, відмінне від всіх чисел вигляду Знайти закон коливання струни, якщо початкове відхилення і початкова швидкість рівне нулю, а кінці струни закріплені.

Відповідь:

2. На струну завдовжки постійно діє зовнішня вимушуюча сила, рівна (з розрахунку на одиницю маси струни) ; тут а – постійна, яка фігурує в рівнянні коливання струни. Знайти закон коливання струни, якщо початкове відхилення і початкова швидкість рівне нулю, а кінці струни закріплені.

Відповідь:

де підсумовування поширено на все непарні

3. На відрізку вирішити рівняння за нульових початкових умов. Кінці струни закріплені.

Відповідь:

4. Лівий кінець струни рухається згідно із законом (де а – постійна в рівнянні коливання струни, – довжина струни), а правий закріплений: . Знайти закон коливання цієї струни, якщо зовнішня обурююча сила, початкове відхилення і початкова швидкість рівне нулю.